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Edgeworth级数与降维算法下结构可靠性分析方法

中国学术期刊网【材料工程论文】 编辑:天问 北京航空航天大学学报 2016-05-02Edgeworth级数与降维算法下结构可靠性分析方法论文作者:孟广伟 冯昕宇 李锋 周立明,原文发表在《北京航空航天大学学报杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 结构可靠性 降维算法 Gauss-Hermite数值积分 Edgeworth级数 矩方法
摘要: 针对工程实际中存在功能函数为隐式或高维非线性的复杂结构,本文提出了一种基于降维算法和Edgeworth级数的可靠性分析方法。利用降维算法将n维函数展开为n个一维函数,经变量转换后变量都相互独立且服从均值为0、方差为0.5的正态分布,再结合Gauss-Hermite积分方法计算出一维函数的原点矩,从而得到结构功能函数的中心矩,将所得的矩信息应用到Edgeworth级数展开式中,给出功能函数的累积分布函数表达式,计算得到结构的失效概率。该方法避免了功能函数对变量梯度的要求,仅需少量的确定性重分析计算。数值算例结果表明了本方法的有效性和正确性。

孟广伟, 冯昕宇, 李锋, 周立明
吉林大学机械科学与工程学院, 长春 130025
收稿日期: 2015-03-30; 录用日期: 2015-06-26; 网络出版时间: 2015-09-17 16:50
基金项目: 吉林省科技厅基金(201205001,201215048);国家重大科学仪器设备开发专项(2012YQ030075)
作者简介: 孟广伟, 男,博士,教授,博士生导师。主要研究方向:疲劳与断裂,结构可靠性。Tel.:0431-85095834 E-mail:mgw@jlu.edu.cn;
冯昕宇, 女,博士研究生。主要研究方向:结构可靠性。
通讯作者: 李锋, 男,博士,副教授。主要研究方向:疲劳与断裂。

结构可靠性[1, 2, 3]是工程领域内研究的重点内容之一。结构中的几何参数、材料属性、强度和载荷等都可视为结构的基本随机变量。失效概率Pf是结构可靠性分析的重要指标之一。现今已有很多方法用于求解失效概率,例如传统的一次二阶矩方法(First-Order Reliability Method,FORM)[4]和二次二阶矩方法(Second-Order Reliability Method,SORM)[5]、蒙特卡罗模拟(Monte Carlo Simulation,MCS)方法[6]以及响应面方法(Response Surface Method,RSM)[7]等。在利用上述方法计算时,MCS法简单易行、精度高,对求解没限制,但计算量相当大,耗时过长;FORM和SORM存在迭代收敛慢甚至不收敛,对功能函数为隐式的问题计算困难,难于求解变量的导数;RSM法对于非线性程度较高的工程实际问题则需要进行多次迭代,而且固定的函数形式也会影响其逼近精度。

Rahman[8]和Cho[9]等提出的降维算法(Dimension Reduction Method,DRM)避免了对功能函数梯度与矩阵的逆以及迭代最可能失效点(Most Probable failure Point,MPP)的求解,大大降低了计算工作量;Youn等[10]指出在基于矩的积分法时,随积分点的增多,导致线性方程组的系数矩阵出现奇异性、条件数和数值结果不稳定等。

因此,本文结合单变量降维算法和Edgeworth级数展开法[11]进行结构的可靠性分析。采用降维算法,将功能函数分解为n个一维函数叠加的形式,再利用变量转换和Gauss-Hermite数值积分得到各一维函数的原点矩,由所得各原点矩信息获得功能函数的中心矩,再将其前四阶中心矩应用到Edgeworth级数展开式中,该级数无需通过参数的分布类型进行拟合,仅需通过矩信息就可拟合累积分布函数计算。

1 降维算法

假设由n维向量X=[x1 x2 … xn]T来表达任意一个连续、可微的实值响应函数g(X),n维函数g(X)的降维表达式[12]为



式中:g0为常数;函数gi(xi)为变量xi单独对响应的一阶表达式;函数gi1i2(xi1,xi2)为变量xi1和xi2对函数g(X)的共同影响的二阶表达式;gi1i2…ik(xi1,xi2,…,xik)则体现着前k阶项共同对g(X)的影响;最后一项g12…n(x1,x2,…,xn)包含了所有变量共同对响应函数的影响。
选取随机变量空间中的任意一个参考点c=(c1,c2,…,cn),若只考虑式(1)中的一阶项。由式(1)可得到下列分量函数的关系式:



式中:gi=g(c1,c2,…,ci-1,xi,ci+1,ci+2,…,cn)。文献[12]研究表明参考点c的最佳选择为变量的均值,因此令c=(μ1,μ2,…,μn),则单变量降维表达式可写为


由二项式展开定理和统计矩定义知,n维函数g(X)的k阶原点矩公式[13]为



式中: 为式(5)的二项式展开系数; 为期望算子,q为原点矩的阶数。
当随机变量xi的概率密度函数为f(xi)时,一维函数gi(X)的原点矩可以表示为



2 变量转换

由于直接用积分计算式(6)会导致较大误差且为提高其计算精度,一维函数的积分表达式,通常可以运用传统的数值积分公式进行计算求解,但积分结果有误差。本文中将各变量均转换为服从N(0,0.5)(均值为0,方差为0.5)的正态分布的变量。基于等概率变换原理,将一组任意分布类型且相互独立的向量X=[x1 x2…xn]T转换成一组服从正态分布的向量U=[u1 u2…un]T。经转换后可得



式中:Φ-1[·]为标准正态分布的累积分布函数;Fxi(xi)为随机变量xi的累积分布函数。转换后的概率密度函数fUi(ui)和累积分布函数FUi(ui)的公式分别为


将式(7)和式(8)代入到式(6)中,利用Gauss-Hermite数值积分,则一维函数gi(xi)=g(μ1,μ2,…,μi-1,xi,μi+1,μi+2,…,μn)的原点矩表达式可表示为



式中:ωi为高斯权重。由式(6)得到一维函数的各阶原点矩,再将其代入式(5),可计算出n维函数g(X)的各阶原点矩。
3 Edgeworth级数

式(5)得到功能函数的统计矩后,可根据矩信息拟合功能函数的累积分布函数。相应的方法有:Pearson系统[14],鞍点近似法[15],增广β和λ分布等。由于Pearson系统在拟合过程中因分布类型的区别在区域边界取值不同,导致数值解不稳定;鞍点近似法计算在数值过程中存在奇异性;增广β和λ分布仅适用于中低度可靠性水平的单峰概率密度函数的近似,且不能准确估计失效概率小于0.01的情况在鞍点近似的数值过程中存在奇异性等[12]。因而本文采用Edgeworth级数,其仅通过功能函数的矩信息,便可拟合其分布函数。

由Edgeworth级数展开法知,功能函数的累积分布函数F(g)可表示为



式中: g为已标准化的功能函数;Φ(g)和Φ(i)(g)分别为标准正态分布函数及其i阶偏导函数;μg2、μg3和μg4分别为n维函数g(X)的第2、第3和第4阶中心矩:


式中:mg2、mg3和mg4分别为功能函数的第2、第3和第4阶原点矩,g为功能函数。
将式(12)代入式(11)便可通过计算得到结构的失效概率。其算法流程如图 1所示。


图 1 结构失效概率计算流程图 Fig. 1 Calculation flowchart of structural failure probability
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