中国学术期刊网 » 论文 » 理学论文 » 数学论文 » S2上一类HCMU度量的存在性研究论文正文

S2上一类HCMU度量的存在性研究

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 中国科学院大学学报 2016-11-05S2上一类HCMU度量的存在性研究论文作者:魏志强 吴英毅,原文发表在《中国科学院大学学报杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 极值度量 紧黎曼面 HCMU度量 锥奇点
摘要: HCMU度量是紧黎曼面上带奇点的extremal度量.研究它的存在性十分重要.通过研究Chen和Wu(Pacific J Math,2009,240(2):267-288)给出的S2上HCMU度量存在的充分必要条件,证明当S2上至少有(N-1)个鞍点时,一定存在non-CSC HCMU度量,其中N是所有锥奇点的个数.

一般意义上的extremal Kähler度量最早由Calabi[1]提出, 目的是在一个紧Kähler流形的固定Kähler类中找到“最好”的度量.具体地, 设M为一个紧Kähler流形, 在一个固定的Kähler类中, extremal Kähler度量是下述Calabi能量的临界点

$\mathscr{C}\lef( g \right) = \int_M {{R^2}{\rm{d}}g, } $
这里R是Kähler类中度量g的数量曲率. $\mathscr{C}\lef( g \right)$(g)的Euler-Lagrange方程是

${{R}_{, \alpha \beta }}\text{=}0, 1\le \alpha, \beta \le di{{m}_{\mathbb{C}}}M, $ (1)
这里R, αβ是R的2阶(0, 2)型协变导数.因此称在一个紧Kähler流形M上满足(1)的度量为extremal Kähler度量.当M是紧Riemann面时, Calabi[1]证明extremal Kähler度量就是常曲率(CSC)度量.自然地, 问题是如果在紧Riemann面上extremal Kähler度量有奇点, 是不是仍然是常曲率度量?答案是否定的.在紧Riemann面上带奇点的extremal Kähler度量通常被称为HCMU(the Hessian of the Curvature of the Metric is Umbilical)度量. Chen[2]给出只带cusp奇点的HCMU度量的分类, 其中在球面上确实存在非常曲率的HCMU度量.下文简称非常曲率的HCMU度量为non-CSC HCMU度量.之后, Chen[3]研究带锥奇点的non-CSC HCMU度量, 并给出一个这种HCMU度量存在的障碍性定理.Chen等[4]给出带锥奇点的non-CSC HCMU度量都是由一些结构简单的带锥奇点的non-CSC HCMU度量拼起来的,这种结构最简单的带锥奇点的non-CSC HCMU度量称为football.还给出任意2个football能拼在一起的充要条件.Lin和Zhu[5]用ODE的方法在S2上构造一类称为exceptional HCMU度量, 这类度量锥奇点的锥角度都是2nπ的形式, 其中n是正整数, 并且这些锥奇点都是高斯曲率K的鞍点. Chen和Wu[6]推广了文献[5]中的结论, 给出S2上non-CSC HCMU度量的具体构造.

本文将利用上述这些结果研究这样一个问题:设p1, …, pN是S2给定的N个锥点, 对应的锥角度分别为2πα1, …, 2παN, 其中αk>0(k=1, …, N)且不为1.设α1, …, αN中有I个整数, 当N-I满足什么条件时, S2上一定存在non-CSC HCMU度量.

1 预备知识

1.1 HCMU度量, 锥奇点和cusp奇点

设M是一个紧致无边的Riemann面, p1, …, pN是M上的N个点.设g是M\P上的光滑保角度量, 其中P={p1, …, pN}.如果g满足

${\Delta _g}K + {K^2} = C, $ (2)
其中K为g的Gauss曲率, C为实常数, 则称g为M上的extremal Hermitian度量.式(2)在局部复坐标系(U, z)下等价于

$\frac{{\partial {K_{, zz}}}}{{\partial \;\bar z}} = 0, $ (3)
见文献[3].如果g在局部复坐标系下满足

${K_{, zz}} = 0, $ (4)
则称g为HCMU(the Hessian of the curvature of the metric is umbilical)度量.明显HCMU度量一定是extremal Hermitian度量, 并且HCMU度量就是extremal Kähler度量在M\P上的直接推广.在下文中, 我们一直假设extremal Hermitian度量和HCMU度量有有限的面积和有限的Calabi能量, 即

$\int_{M\backslash P} {{\rm{d}}g < + \infty, \int_{M\backslash P} {{K^2}{\rm{d}}g < + \infty .} } $ (5)
下面介绍锥奇点和cusp奇点的定义.

定义1.1 设M是Riemann面, p∈M.又设(U, z)为p附近的复坐标系且z(p)=0,g为U\{p}上的光滑度量.如果$g = {{\rm{e}}^{2\varphi }}{\left| {\;{\rm{d}}z\;} \right|^2}$, 并且φ-(α-1)ln|z|(α>0)在p处连续, 称p为g的锥奇点并且g在p处有锥角度2πα.

定义1.2 设M是Riemann面,p∈M.又设(U, z)为p附近的复坐标系且z(p)=0, g为U\{p}上的光滑度量.如果$g = {{\rm{e}}^{2\varphi }}{\left| {\;{\rm{d}}z\;} \right|^2}$, 并且${\lim _{z \to 0}}\frac{{\varphi + \ln \left| z \right|}}{{\ln \left| z \right|}} = 0$, 称p为g的cusp奇点.

当HCMU度量满足(5), 则它的奇点或者是锥奇点或者是cusp奇点[7-8].

1.2 带锥奇点的non-CSC HCMU度量的基本性质, football分解与粘合

设M是一个紧致无边的Riemann面, p1, …, pN是M上的N个点, 记P:={p1, …, pN}.设g是M\P上的光滑保角度量.设(U, z)为M\P上的局部复坐标系, 则g在U上可以写成

$g = {e^{2\varphi }}{\left| {{\rm{d}}z} \right|^2}, $
于是M\P上的高斯曲率为K=-e-2φΔφ, 这里$\Delta = 4\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial z\partial \bar z}}$.如果g是M\P上的HCMU度量, 即式(4)成立, 这等价于

$\nabla K = \sqrt {-1} {{\rm{e}}^{-2\varphi }}{K_{\overline z }}\frac{\partial }{{\partial z}}$
为M\P上的全纯向量场, 这也等价于

$V = \frac{1}{2}\lef( {\sqrt {-1} {{\rm{e}}^{-2\varphi }}{K_{\overline z }}\frac{\partial }{{\partial z}}-\sqrt { - 1} {{\rm{e}}^{ - 2\varphi }}{K_z}\frac{\partial }{{\partial \;\bar z}}} \right)$
为M\P上的Killing向量场.进一步, 如果g是non-CSC HCMU度量, $\nabla K$和V都是非平凡的.

现在假设g为non-CSC HCMU度量, p1, …, pN为g的锥奇点, 并且g在这些锥奇点的锥角度分别为2πα1, …, 2παN, 这里α1, …, αN都为正实数并且都不为1, 因为Lin和Zhu[5]证明如果HCMU度量在某点处的锥角度为2π, 则度量在该点处是光滑的, 即该点实际上不是度量的奇点. Chen[3]通过研究V以及V的积分曲线得到下列重要结论:

命题1.1[3] Gauss曲率可以连续地延拓到整个M上.

命题1.2[3] V的奇点个数有限, 并且V的奇点集一定是K的鞍点集和K的局部极值点集的并集, 这里K的鞍点是指存在2条以上V的积分曲线在该点相交.

命题1.3[3] K的鞍点必为g的锥奇点, 并且K的鞍点锥角度为2πα形式, 这里α为整数, 进一步, V在K的鞍点处的旋转指标为α-1.

命题1.4[3] g的锥奇点除了K的鞍点外, 都是K的局部极值点. K的光滑临界点都是局部极值点, 即K的局部极值点分成2类:一类是g除鞍点外的锥奇点, 另一类是K的全部光滑临界点. V在K的任何一个局部极值点处的旋转指标都是1.

综合命题1.2,1.3和1.4对V应用Poincaré-Hopf指标定理有

定理1.1[3] 设$\left\{ {{p_1}, \cdots, {p_I}} \right\} \subset \left\{ {{p_1}, \cdots, {p_N}} \right\}\lef( {0 \le I \le N} \right)$为K的鞍点集, 则M的Euler示性数为

${\chi ^{\lef( M \right)}} = \sum\limits_{i = 1}^I {\lef( {1-{\alpha _i}} \right) + \lef( {N-I} \right) + s, } $ (6)
其中,S表示K的光滑临界点的个数.

由定理1.1, 如果K没有鞍点, 即I=0, 则χ(M)=N+S>0, 因此, M一定是为球面, 于是2=χ(M)=N+S, 即K只有2个局部极值点分别在最大、最小值点处.这种HCMU度量实际上是旋转对称的, 称为football.如图 1所示.

Fig. 1
Download:
JPGlarger image


图 1 Football

Fig. 1 Football
其中, p和q分别表示K的最大、最小值点, 且度量在这2点处的锥角度分别为2πα和2πβ, α>β>0:数字1表示纬线, 即V的积分曲线.具体地,

$g = {\rm{d}}{u^2} + {f^2}\lef( u \right){\rm{d}}{\theta ^2}\;\;\lef( {0 \le u \le l, 0 \le \theta \le 2{\rm{\pi }}} \right)$
这里f(u)满足基本性质:$f\lef( 0 \right) = f\lef( l \right) = 0;f'\lef( 0 \right) = \alpha, f'\lef( l \right) =-\beta ;f\lef( u \right) > 0, u \in \lef( {0, l} \right)$.为了方便, 记这样的football为S{α, β}2.此外, 在文献[3]中, Chen还给出利用football构造复杂一些non-CSC HCMU度量的方法.例如:取2个相同的football $S_{\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\} }^2$, 如图 2所示.

Fig. 2
Download:
JPGlarger image


图 2 2个football粘合

Fig. 2 Gluing of two footballs
分别从K的最小值点沿经线剪开相同的距离, 然后分别将经线P和P′, Q和Q′粘在一起, 于是得到一个新的non-CSC HCMU度量, 这个HCMU度量有锥角度$2{\rm{\pi }}\frac{1}{2}, 2{\rm{\pi }}\frac{1}{2}, 4{\rm{\pi, 2\pi }}\frac{2}{3}, A\lef( {A'} \right)$是K的鞍点, 锥角度为4π.

在文献[4]中, Chen等继续了Chen在文献[3]中的研究并得到下面一些结果.

命题1.5[4] 带锥奇点的non-CSC HCMU度量, 任何K的局部极值点都是K的最大值点或者最小值点.如果记K1和K2分别为K的最大值和最小值, 则K1>0, K1>K2>-(K1+K2).

定理1.2[4] 带锥奇点的non-CSC HCMU度量都可以沿着有限多条从K的最大值点到K的最小值点的测地线(这些测地线与V垂直)将底流形剖分成有限多片, 而每一片都与某个football等距.

定理1.3[4] 2个football $S_{\left\{ {{\alpha _1}, {\beta _1}} \right\}}^2$与$S_{\left\{ {{\alpha _1}, {\beta _1}} \right\}}^2$能沿着经线或者经线的一段粘起来的充要条件是

$\frac{{{\alpha _1}}}{{{\beta _1}}} = \frac{{{\alpha _2}}}{{{\beta _2}}}, \frac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}} = \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}.$
这里A1和A2分别表示$S_{\left\{ {{\alpha _1}, {\beta _1}} \right\}}^2$与$S_{\left\{ {{\alpha _2}, {\beta _2}} \right\}}^2$的面积.

1.3 球面S2上non-CSC HCMU度量的存在与具体构造

Lin和Zhu[5]研究$\nabla K$并构造了S2上一类称为exceptional HCMU度量.即下面定理.

定理1.4[5] 设${p_1} = \infty, {p_2} = {z_2}, \cdots, {p_N} = {z_N}$是${{s}^{2}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty \right\}$上N个点, 且α1≥2, …, αN≥2是N个整数, 设

$\alpha = {\alpha _1} + \sum\limits_{i = 2}^N {\lef( {{\alpha _i}-1} \right)} .$
则$g = {{\rm{e}}^{2\varphi }}{\left| {{\rm{d}}z} \right|^2}$是S2上在pi处的锥角度为2παi的exceptional HCMU度量的充要条件是存在一个正数k, 一个非零复数B, 和$\mathbb{C}$一个次数为(α+1)的多项式f(z), 满足f(z)有不同的零点γl,3k≤α+1, 和

$\sum\limits_{l = 1}^k {\frac{{-2a}}{{z-{\gamma _l}}}} + \sum\limits_{l' = k = 1}^{\alpha + 1} {\frac{2}{{z-{\gamma _{l'}}}}} = \frac{{B\prod\nolimits_{i = 2}^n {{{\lef( {z - {z_i}} \right)}^{{\alpha _i} - 1}}} }}{{\prod \begin{array}{l} \alpha + 1\\ l = 1 \end{array} \lef( {z - {\gamma _l}} \right)}}, $
其中a=(α+1-k)/k.更进一步, K和φ由下面方程确定

$\begin{array}{l} \frac{1}{{{{\lef( {K + \frac{{\lef( {a-2} \right)\beta }}{{2a-1}}} \right)}^a}}}\lef( {\beta-K} \right){\lef( {K + \frac{{\beta \lef( {a + 1} \right)}}{{2a - 1}}} \right)^{a - 1}} = \\ A\prod\limits_{l = 1}^k {{{\left| {z - {\gamma _l}} \right|}^{ - 2a}}\prod\limits_{l' = k + 1}^{\alpha + 1} {{{\left| {z - {\gamma _{l'}}} \right|}^2}, } } \end{array}$


$\varphi = \frac{1}{2}\ln \left[{\lef( {\frac{1}{{{{\left| {F\lef( z \right)} \right|}^2}}}} \right)\lef( {-\frac{1}{3}{K^3} + cK + c'} \right)} \right], $
其中A>0是某一个常数, 且

$\begin{array}{*{20}{c}} {\beta = \sqrt c \lef( {2a - 1} \right)/\sqrt {{a^2} - a + 1} ,}\\ {\;c' = \frac{{\lef( {a + 1} \right)\lef( {a - 2} \right){\beta ^3}}}{{3{{\lef( {2a - 1} \right)}^2}}},}\\ {F\lef( z \right) = {{\lef( {z - {z_2}} \right)}^{ - \lef( {{\alpha _2} - 1} \right)}} \cdots {{\lef( {z - {z_N}} \right)}^{ - \lef( {{\alpha _N} - 1} \right)}}f\lef( z \right),}\\ {\;\;f\lef( z \right) = {B^{ - 1}}\frac{{ - 3a\lef( {a - 1} \right){\beta ^2}}}{{{{\lef( {2a - 1} \right)}^2}}}\prod\limits_{l = 1}^{\alpha + 1} {\lef( {z - {\gamma _l}} \right).} } \end{array}$
在文献[6]中, Chen和Wu将上面定理推广到S2上non-exceptional度量的存在性与具体构造, 即下面定理:

定理1.5[6] 设${p_1} = \infty, {p_2} = {z_2}, \cdots, {p_N} = {z_N}$是${{s}^{2}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty \right\}$上N个点,设α1, …, αN≥N是N个正实数, 且α1≥2, …, αj≥2是j个整数, 则

· S2存在一个HCMU度量使得p1, p2, …, pN是锥奇点, 锥角度分别为2πα1, …, 2παN且

· p1, p2, …, pj是K的所有鞍点.

等价于

· $S=2+\sum\limits_{{{i}'}}^{j}{{{\alpha }_{{{i}'}}}-N\ge 0}$, 且

·存在j+1, …, N的置换δ, 整数l满足0≤l≤N-j, 整数t满足0≤t≤S和$\left\{ {{\beta }_{1}}, \cdots, {{\beta }_{S}} \right\}\subset \mathbb{C}\backslash \left\{ {{z}_{2}}, \cdots {{, }_{{{z}_{N}}}} \right\}$使得

$\begin{array}{c} {\alpha _{\delta \lef( 1 \right)}} + {\alpha _{\delta \lef( 2 \right)}} + \cdots + {\alpha _{\delta \lef( l \right)}} + t > {\alpha _{\delta \lef( {l + 1} \right)}} + \\ \; \cdots + {\alpha _{\delta \lef( {N-j} \right)}} + S-t, \end{array}$


$\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{k = 1}^l {\frac{{{\alpha _{\delta \lef( k \right)}}}}{{z - {z_{\delta \lef( k \right)}}}} + \sum\limits_{k' = l + 1}^{N - j} {\frac{{\lef( {a - 1} \right){\alpha _{\delta \lef( {k'} \right)}}}}{{z - {z_{\delta \lef( {k'} \right)}}}} + } } }\\ {\;\;\sum\limits_{m = 1}^t {\frac{1}{{z - {\beta _m}}}} + \sum\limits_{m' = t + 1}^s {\frac{{a - 1}}{{z - {\beta _{m'}}}}} }\\ { = \frac{{B\prod\nolimits_{i'}^j {{{\lef( {z - {z_{i'}}} \right)}^{{\alpha _{i'}} - 1}}} }}{{\prod\nolimits_{k = j + 1}^N {\lef( {z - {z_k}} \right)\prod\nolimits_{m = 1}^s {\lef( {z - {\beta _m}} \right)} } }},} \end{array}$
其中B≠0,$a-1 =-\frac{{{\alpha _{\max }}}}{{{\alpha _{\min }}}}$.这里

$\begin{array}{c} {\alpha _{\max }} = {\alpha _{\delta \lef( 1 \right)}} + {\alpha _{\delta \lef( 2 \right)}} + \cdots + {\alpha _{\delta \lef( l \right)}} + t, \\ {\alpha _{\min }} = {\alpha _{\delta \lef( {l + 1} \right)}} + \cdots + {\alpha _{\delta \lef( {N-j} \right)}} + S-t. \end{array}$
2 主要结论与证明

现在返回到我们要研究的问题, 即当S2上给定了N个锥奇点和N个锥角度时, 锥角度满足什么样的条件时一定存在non-CSC HCMU度量.我们的结论是当锥奇点个数与K的鞍点个数相差不超过1时一定存在, 即下面定理.

定理2.1 设${p_1} = \infty, {p_2} = {z_2}, \cdots, {p_N} = {z_N} = 0$是${{s}^{2}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty \right\}$上任意N≥3个不同的点, α1, …, αN是N个不为1的正实数, 若α1, …, αN-1是整数.则S2\{p1, …, pN}上一定存在non-CSC HCMU度量g, 使得p1, …, pN是g的锥奇点, 锥角度分别是2π α1, …, 2παN且p1, …, pN-1是g的高斯曲率K的鞍点.

证明 因为α1, …, αI为整数, 其中I=N-1.由障碍定理知若满足条件的non-CSC HCMU度量存在, 则一定存在鞍点.现在我们证明S2上一定存在以p1, …, pI为鞍点的non-CSC HCMU度量.由障碍定理, 有

$2 = \sum\limits_{i = 1}^I {\lef( {1-{\alpha _i}} \right) + \lef( {N-I} \right) + s, } $
其中S为光滑极值点的个数.由于I=N-1, 所以

$S = \sum\limits_{i = 1}^I {\lef( {{\alpha _i}-1} \right) + 1 \ge 3.} $
首先给出几个引理

引理2.1 若存在ω1, …, ωS-1, B使得方程

$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\alpha _N}}}{{z - {z_N}}} + \frac{\lambda }{{z - \beta }} + \sum\limits_{m = 1}^{S - 1} {\frac{1}{{z - {\omega _m}}}} }\\ { = \frac{{B\prod\nolimits_{i = 2}^I {{{\lef( {z - {z_i}} \right)}^{{\alpha _i} - 1}}} }}{{\lef( {z - {z_N}} \right)\lef( {z - \beta } \right)\prod\nolimits_{m = 1}^{S - 1} {\lef( {z - {\omega _m}} \right)} }},} \end{array}$ (7)
成立, 其中z2, …, zN, β是提前给定的互不相等的复数, α1, …, αN是N个不为1的正实数, 且α1, …, αN-1是整数, I=N-1, $S = \sum\limits_{i = 1}^I {\lef( {{\alpha _i}- 1} \right) + 1, \lambda =- \left[{\sum\limits_{i = 1}^I {\lef( {{\alpha _i}-1} \right) + {\alpha _N}} } \right]} $.则B≠0, ωm≠β, m=1, …, S-1且

1)若对任意m,ωm≠zi,i=2, …, I, 则ωm≠zN, m=1, …, S-1, 且ω1, …, ωS-1互不相等.

2)若存在m0, i0, 使得ωm0=zi0, 则ω1, …, ωS-1中有且只有αi0个等于zi0.

证明 若B=0,则(7)右边为零, 对左边求在点zN的系数应该有αN+l0=0, 其中l0是ω1, …, ωS-1中等于zN的个数.这是不可能的.从而B≠0.

若存在m0, 使得ωm0=β, 代入(7)并通分可知左边分母的次数比右边分母的次数低, 这是不可能的.因此结论成立.

1)若ω1, …, ωS-1中存在l1>0个与zN相等, 不妨设ω1, …, ωl1=zN.代入(7)并通分可知左边分母的次数低于右边分母的次数, 因此这是不可能的.类似的可证ω1, …, ωS-1互不相等.

2)若存在m0, j0, 使得ωm0=zj0, 不妨设若存在ω1=z2, 则ω1, …, ωS-1中有且只有α2个等于z2.因为若ω1, …, ωS-1中等于z2的个数大于α2,代入(7)通分知左边分母的次数低于右边分母的次数.若ω1, …, ωS-1中等于z2的个数小于α2, 代入(7)可知左边关于z2的留数为零, 这是不可能的.因此结论成立.

引理2.2 对$\mathbb{C}$上给定的互不相同复数z2, …, zN=0和正实数α1, …, αN, 其中α1, …, αI(I=N-1)是不为1的整数, 一定存在$\beta \in \backslash \left\{ {{z_2}, \cdots, {z_N}} \right\}$和ω1, …, ωS-1以及B满足(7).

证明 令

$\begin{array}{c} \frac{{{\alpha _N}}}{{z-{z_N}}} + \frac{\lambda }{{z-\beta }} + \sum\limits_{m = 1}^{S-1} {\frac{1}{{z - {\omega _m}}}} \\ = \frac{{\sum\nolimits_{k = 1}^S {{b_k}{z^{S - k}}} }}{{\lef( {z - {z_N}} \right)\lef( {z - \beta } \right)\prod\nolimits_{m = 1}^{S - 1} {\lef( {z - {\omega _m}} \right)} }}, \end{array}$ (8)


$\begin{array}{c} {b_1} =- \left[{{\alpha _N}\beta + \lambda {z_N} + \lef( {{z_N} + \beta } \right)\lef( {S-1} \right)-{\sigma _1}} \right], \\ {b_2} = \left[{{\alpha _N}\beta + \lambda {z_N} + \lef( {{z_N} + \beta } \right)\lef( {S-2} \right){\sigma _1}-2{\sigma _2}} \right], \\ 3 \le k \le S - 1, {b_k} = {\lef( { - 1} \right)^k}\left\{ {\left[{{\alpha _N}\beta + \lambda {z_N} + } \right.} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\left. {\;\lef( {{z_N} + \beta } \right)\lef( {S-k} \right)} \right]{\sigma _{k -1}} + \\ \;\;\;\;\;\left. {{z_N}\beta \lef( {S -k + 1} \right){\sigma _{k -2}} - k{\sigma _k}} \right\}\\ \left. {{b_s} = {{\lef( { - 1} \right)}^S}{\alpha _N}\beta {\sigma _{S - 1}} + \lambda {z_N}{\sigma _{S - 1}} + {z_N}\beta {\sigma _{S - 1}}} \right]. \end{array}$
其中$\sum {_{1 \le {i_1} < \cdots < {i_j} \le S-1}\lef( {{\omega _{{i_1}}} \cdots {\omega _{{i_j}}}} \right) = {\sigma _j}} $.

由于zN=0, 若令σ0=1, σS=0.则

$\begin{array}{l} {b_k} = {\lef( {- 1} \right)^k}\left[{\lef( {{\alpha _N} + S-k} \right)\beta {\sigma _{k-1}}-} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {k{\sigma _k}} \right], k = 1, \cdots, S. \end{array}$ (9)


$\begin{array}{*{20}{l}} {\prod\limits_{i = 2}^I {{{\lef( {z - {z_i}} \right)}^{{\alpha _i} - 1}} = } }\\ {\prod\limits_{i = 2}^I {\left[ {\sum\limits_{j = 0}^{{\alpha _i} - 1} {{{\lef( { - 1} \right)}^{{\alpha _i} - 1 - j}}z_j^{{\alpha _i} - 1 - j}C_{{\alpha _i} - 1}^j{z^j}} } \right]} }\\ { = \sum\limits_{l = 0}^{\alpha - {\alpha _1}} {\left[ {{{\lef( { - 1} \right)}^{\alpha - {\alpha _1} - l}}\sum\limits_{l = {j_2} + \cdots + {j_I}} {\lef( {z_2^{{\alpha _2} - 1 - {j_2}}C_{{\alpha _2} - 1}^{{j_2}} \cdots z_I^{{\alpha _I} - 1 - {j_I}} \cdot } \right.} } \right.} }\\ {\left. {\left. {C_{{\alpha _I} - 1}^{{j_I}}} \right)} \right]{z^l} = \sum\limits_{l = 0}^{\alpha - {\alpha _1}} {{d_l}{z^l}.} } \end{array}$
其中

$\begin{array}{l} {d_l} = {\lef( {-1} \right)^{\alpha-{\alpha _1}-l}}\\ \sum\limits_{l = {j_2} + \cdots + {j_I}} {\lef( {z_2^{{\alpha _2} - 1 - {j_2}}C_{{\alpha _2} - 1}^{{j_2}} \cdots z_I^{{\alpha _I} - 1 - {j_I}}C_{{\alpha _I} - 1}^{{j_I}}} \right), } \\ \alpha = {\alpha _1} + \sum\limits_{i = 2}^I {\lef( {{\alpha _i} - 1} \right) = S.} \end{array}$


$B\sum\limits_{l = 0}^{\alpha-{\alpha _1}} {{d_l}{z^l} = \sum\limits_{k = 1}^S {{b_k}{z^{S-k}}.} } $


$B\sum\limits_{l = 0}^{S-{\alpha _1}} {{d_l}{z^l} = \sum\limits_{k = 1}^{{\alpha _1}-1} {{b_k}{z^{S-k}} + \sum\limits_{k = {\alpha _1}}^S {{b_k}{z^{S - k}}.} } } $
所以

${b_k} = \left\{ \begin{array}{l} 0, k = 1, \cdots, {\alpha _1}-1.\\ B\;{d_{S-k}}, k = {\alpha _1}, \cdots, S. \end{array} \right.$ (10)
由(9)和(10)得

$k{\sigma _k} = \left\{ \begin{array}{l} \lef( {{\alpha _N} + S-k} \right)\beta {\sigma _{k-1}}, k = 1, \cdots, {\alpha _1}-1.\\ {\lef( { - 1} \right)^{k + 1}}B{d_{S - k}} + \lef( {{\alpha _N} + S - k} \right)\beta {\sigma _{k - 1}}, \\ k = {\alpha _1}, \cdots, S. \end{array} \right.$
所以

$\begin{array}{l} {\sigma _k} = \\ \left\{ \begin{array}{l} C_{{\alpha _N} + S - 1}^k{\beta ^k},k = 1, \cdots ,{\alpha _1} - 1.\\ C_{{\alpha _N} + S - 1}^k{\beta ^k} - B{\lef( { - 1} \right)^k}\frac{{{d_{S - k}}}}{k}\\ - B\sum\limits_{l = {\alpha _1}}^{k - 1} {{{\lef( { - 1} \right)}^l}{d_{S - l}}{\beta ^{k - l}}} \\ \frac{{\lef( {{\alpha _N} + S - k} \right)\lef( {{\alpha _N} + S - k + 1} \right) \cdots \lef( {{\alpha _N} + s - l - 1} \right)}}{{l\lef( {l + 1} \right) \cdots k}},\\ k = {\alpha _1}, \cdots ,S. \end{array} \right. \end{array}$ (11)
因此由σS=0, 而β≠0, 所以β必须满足

$\begin{array}{l} {\lef( {-1} \right)^s}\frac{{{d_0}}}{S} + \sum\limits_{l = {\alpha _1}}^{S-1} {{{\lef( {-1} \right)}^l}{d_{S - l}}{\beta ^{S - l}}} \\ \frac{{\lef( {{\alpha _N}} \right)\lef( {{\alpha _N} + 1} \right) \cdots \lef( {{\alpha _N} + S - l - 1} \right)}}{{l\lef( {l + 1} \right) \cdots S}} \ne 0. \end{array}$ (12)
由于式(12)左边是关于β的多项式, 次数不超过S-α1.从而左边多项式的根个数有限, 因此一定存在$\beta \in \mathbb{C}\backslash \left\{ {{z}_{2}}, \cdots, {{z}_{N}} \right\}$和非零B, 使得σS=0.再由式(11), 所以存在ω1, …, ωS-1使得式(7)成立.

引理2.3 对$\mathbb{C}$上给定的互不相同复数z2, …, zN=0和不为1的正实数α1, …, αN, 其中α1, …, αI(I=N-1)是整数, 一定存在$\beta \in \mathbb{C}\backslash \left\{ {{z}_{2}}, \cdots, {{z}_{N}} \right\}$使得方程(7)有解B, ω1, …, aS-1满足ω1, …, ωS-1与z2, …, zI不相等.

证明 首先证明对不同的β1, β2使得对应的B, ω1, …, ωS-1和$\widetilde B, {\widetilde \omega _1}, \cdots, {\widetilde \omega _{S-1}}$满足$\left\{ {B, {\omega _1}, \cdots, } \right.\left. {{\omega _{S-1}}} \right\} \cap \left\{ {\widetilde B, {{\widetilde \omega }_1}, \cdots, {{\widetilde \omega }_{S-1}}} \right\} = \emptyset $, 因为

$\begin{array}{l} \frac{{{\alpha _N}}}{{z-{z_N}}} + \frac{\lambda }{{z-{\beta _1}}} + \sum\limits_{m = 1}^{S-1} {\frac{1}{{z - {\omega _m}}}} \\ = \frac{{B\prod\nolimits_{i = 2}^I {{{\lef( {z - {z_i}} \right)}^{{\alpha _i} - 1}}} }}{{\lef( {z - {z_N}} \right)\lef( {z - {\beta _1}} \right)\prod\nolimits_{m = 1}^{S - 1} {\lef( {z - {\omega _m}} \right)} }}, \\ \frac{{{\alpha _N}}}{{z - {z_N}}} + \frac{\lambda }{{z - {\beta _2}}} + \sum\limits_{m = 1}^{S - 1} {\frac{1}{{z - {{\widetilde \omega }_m}}}} \\ = \frac{{\widetilde B\prod\nolimits_{i = 2}^I {{{\lef( {z - {z_i}} \right)}^{{\alpha _i} - 1}}} }}{{\lef( {z - {z_N}} \right)\lef( {z - {\beta _2}} \right)\prod\nolimits_{m = 1}^{S - 1} {\lef( {z - {{\widetilde \omega }_m}} \right)} }}, \end{array}$
相减得

$\begin{array}{l} \frac{\lambda }{{z-{\beta _1}}}-\frac{\lambda }{{z-{\beta _2}}} + \sum\limits_{m = 1}^{S - 1} {\frac{1}{{z - {\omega _m}}} - \sum\limits_{m = 1}^{S - 1} {\frac{1}{{z - {{\widetilde \omega }_m}}}} } \\ = \frac{{B\prod\nolimits_{i = 2}^I {{{\lef( {z - {z_i}} \right)}^{{\alpha _i} - 1}}} }}{{\lef( {z - {z_N}} \right)\lef( {z - {\beta _1}} \right)\prod\nolimits_{m = 1}^{S - 1} {\lef( {z - {\omega _m}} \right)} }} - \\ \frac{{\widetilde B\prod\nolimits_{i = 2}^I {{{\lef( {z - {z_i}} \right)}^{{\alpha _i} - 1}}} }}{{\lef( {z - {z_N}} \right)\lef( {z - {\beta _1}} \right)\prod\nolimits_{m = 1}^{S - 1} {\lef( {z - {{\widetilde \omega }_m}} \right)} }}, \end{array}$
由于上式左边关于z在点zN是解析的, 而右边zN是一个极点, 矛盾.这就是说方程(7)的解是由参数β唯一决定.

现证明引理2.3, 由于z2, …, zI是有限个点, 若某一个ωm0=zj0, 若这样参数β存在则只能唯一.因此使得参数β对应的ω1, …, ωS-1与z2, …, zI中某些项是相等的只能是有限多.而参数β取值范围是无限的, 从而结论成立.

设${{S}^{2}}=\mathbb{C}\cup \left\{ \infty \right\}, {{P}_{1}}=\infty, {{P}_{i}}={{z}_{i}}, i=2, \cdots, N\cdot \beta \in \mathbb{C}\backslash \left\{ {{z}_{2}}, \cdots, {{z}_{N}} \right\}$是任意给定的一点.由文献[7]中定理2.5, 存在以p1, …, pI为鞍点, 以pN为最大值点, 以β为最小值点的non-CSC HCMU度量的充分条件是

1) αi≥2, i=1, …, I且为整数.由假设知这已经满足.

2) $\exists T, 0\le T\le S$,使得αN+T>S-T.这里取T=S-1, 其中$S=\sum\nolimits_{i=1}^{I}{\lef( {{\alpha }_{i}}-1 \right)+1}$.故也满足.

3)存在$\left\{ {{\omega }_{1}}, \cdots, {{\omega }_{S-1}} \right\}\subset \mathbb{C}\backslash \left\{ \beta, {{z}_{2}}, \cdots, {{z}_{N}} \right\}$, 使得下面式子成立:

$\begin{align} & \frac{{{\alpha }_{N}}}{z-{{z}_{N}}}+\frac{\lambda }{z-\beta }+\sum\limits_{m=1}^{S-1}{\frac{1}{z-{{\omega }_{m}}}} \\ & =\frac{B\prod\nolimits_{i=2}^{I}{{{\lef( z-{{z}_{i}} \right)}^{{{\alpha }_{i}}-1}}}}{\lef( z-{{z}_{N}} \right)\lef( z-\beta \right)\prod\nolimits_{m=1}^{S-1}{\lef( z-{{\omega }_{m}} \right)}}, \\ \end{align}$ (13)
其中$\lambda =-\frac{{{\alpha }_{\max }}}{{{\alpha }_{\min }}}=-\left[\Sigma _{i=1}^{I}\lef( {{\alpha }_{i}}-1 \right)+{{\alpha }_{N}} \right]$.

综合引理2.1, 2.2和2.3,定理2.1得证.