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BL-代数的扰动模糊理想的性质

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-05BL-代数的扰动模糊理想的性质论文作者:彭家寅,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: BL-代数 扰动模糊理想 扰动模糊Boolean理想 扰动模糊素理想 扰动模糊既约理想 扰动模糊超理想 扰动模糊固执理想 扰动模糊Godel理想
摘要: 利用扰动模糊集概念, 研究BL-代数的扰动模糊理想的性质。引入了扰动模糊理想的概念并研究它的一些性质。通过扰动模糊理想构造了商BL-代数, 并给出了扰动模糊同态基本定理。此外, 给出了由扰动模糊集生成扰动模糊理想的方法。定义了扰动模糊理想的一些类型, 研究它们间的一些关系。给出了扰动模糊Boolean理想、扰动模糊素理想、扰动模糊既约理想、扰动模糊超理想及扰动模糊Godel理想的一些刻画。

0 引言

现实世界上存在着大量各种各样的不确定性和不精确性, 比如随机性、模糊性、不可比较性等等, 而人工智能的一个重要任务是使计算机模拟人脑去处理确定性与不确定性信息。19世纪末, 德国数学家Contor创立了集合论, 奠定了现代数学的基础, 但其相应的数学工具却无法处理不确定性与不精确问题。1965年, Zadeh教授对Contor的集合实现了革命性变革, 用数学的方法来描述模糊概念, 提出模糊集理论[1], 在某种程度上有效地解决了一些不确定问题。随着人类对不确定性问题认识的深入, 一些新型模糊理论, 如直觉fuzzy集理论[2]、vague理论[3]、区间数理论[4]等等作为数学工具来处理嵌入在系统中不同类型的不确定性和不精确性问题, 丰富和发展了经典的模糊集理论。在Zadeh最初的狭义模糊集思想中, 人们虽然不能给出一个模糊概念的“传统”外延, 但却能凭借“经验”用区间[0,1]内的一个数来认定论域中每一个体具有此概念所刻画性质的程度, 也能用这样的数去确定模糊命题真实程度。“这种经验, 实质上是人们对基底集中各客体的特性与这类概念内涵之一致性所给的测度; 或者说, 是人们对基底集中各客体对于这类概念‘外延’的‘隶属度’的认识”[5]。在确定个体对模糊概念之隶属度和模糊命题之真值的过程中, 人们对事物的属性都有一个相对稳定的共性认识, 但同时因文化、地域、时间、个人见解等诸多差异, 不同认识主体对研究对象的认识不可避免会存在差别。现实世界中模糊集理想的隶属函数应有弹性, 允许小数量的摄动或延展, 其中每一摄动都是一个新的函数[6]。文献[7]引入了模糊集的最大摄动概念, 并用之于模糊推理中; 文献[8]正式地提出了扰动模糊集的概念, 讨论了相应模糊逻辑及“非算子”。

另一方面, 现实生活中人类思维几乎都是一个模糊的概念, 经典二值逻辑不能满足人们判断的需要, 于是非经典逻辑应运而生。文献[9]在研究多值逻辑系统时, 引入了多值(MV)代数; 文献[10]就模糊命题逻辑引入了基础逻辑(BL)公理系统, 为了提供基础逻辑的完备性定理的一个代数证明, 建立了对应于该逻辑系统的BL-代数。众所周知的一个BL-代数是在区间[0,1]赋予一个由连续的三角范数诱导的结构。显然, MV-代数、Godel代数和积代数都是最有名的BL-代数类。近年来, BL-代数的研究得到了拓展[11-14], 并获得了若干优秀成果。滤子理论在BL-代数研究中扮演着重要的角色, 从逻辑的观点, 不同滤子对应于不同的可证公式集合。文献[10]在BL-代数中引入了滤子和素滤子的概念, 并利用素滤子证明了基础逻辑的完备性。文献[15]在研究演绎系统的性质时, 引入了蕴涵滤子和布尔滤子的概念, 并指出在BL-代数中蕴涵滤子等价于布尔滤子。文献[16-17]提出了BL-代数中正定滤子和怪诞滤子, 并研究它们的性质。最近, BL-代数的一些新滤子[18-20]被引入, 深化了对BL-代数结构的讨论, 丰富和发展了滤子理论。BL-代数中的另一重要概念是理想, 它由文献[10]引入, 文献[21]研究了BL-代数的理想性质。

从Zadeh提出模糊集概念至今, 模糊集理论被用于许多不同代数结构的研究中。文献[22-23]提出了BL-代数的模糊滤子与模糊素滤子的概念, 而文献[24]引入了几种广义模糊滤子, 探究了这些滤子的性质。最近, 文献[25-26]基于模糊集的“重于”关系讨论了BL-代数的模糊滤子问题, 文献[27]和[28]从不同角度分别讨论BL-代数的n-重模糊蕴涵滤子问题。另一方面, 文献[29]研究了BL-代数的模糊理想, 提出了模糊素理想、模糊Boolean理想等概念。最近, BL-代数的模糊理想理论[30-34]得到进一步丰富和发展。一些新型模糊集理论也被用于各种代数结构的研究中, 如文献[35-36]将直觉fuzzy集理论用于讨论BL-代数的模糊滤子, 文献[37]将vague理论应用于讨论BCK-代数的代数结构, 文献[38]将区间值模糊集用于讨论BL代数的滤子结构中。尽管文献[39]用扰动模糊集研究了正规子群, 然而, 用扰动模糊集理论去研究代数结构的文献并不多见。为此, 本文将扰动模糊集引入到拟BL-代数中, 建立拟BL-代数的扰动模糊理想理论, 研究其性质和结构特征。

1 预备

设D2={α=(μ, δ)|μ, δ∈[0,1]}, 其中(μ, δ):=[max{0, μ-δ}, min{1, μ+δ}], μ和δ分别叫做扰动数主值和扰动值, D2中任何一个元素都称为[0,1]上的扰动数[40]。

令α=(μ1, δ1), β=(μ2, δ2)∈D2, 规定:α=β当且仅当且μ1=μ2且δ1=δ2。定义如下运算[40]:

α∧β=(min{μ1,μ2},max{δ1,δ2}),α∨β=(max{μ1,μ2},min{δ1,δ2}),αc=(1−μ1,1−δ1),kα=(kμ1,kδ1),0≤k≤1。α∧β=(min{μ 1 ,μ 2 },max{δ 1 ,δ 2 }),α∨β=(max{μ 1 ,μ 2 },min{δ 1 ,δ 2 }),α c =(1−μ 1 ,1−δ 1 ),kα=(kμ 1 ,kδ 1 ),0≤k≤1。

显然, D2是完全的、无限分配的。由运算∨和∧诱导的关系≤是D2上的一个偏序关系[39-40]:

α<β⇔α∨β=β⇔(μ1∨μ2,δ1∧δ2)=(μ2,δ2)⇔μ1∨μ2=μ2,δ1∧δ2=δ2⇔μ1≤μ2,δ2≤δ1,α<β⇔α≤β和α≠β⇔μ1<μ2,δ2≤δ1或μ1≤μ2,δ2<δ1。α<β⇔α∨β=β⇔(μ 1 ∨μ 2 ,δ 1 ∧δ 2 )=(μ 2 ,δ 2 )⇔μ 1 ∨μ 2 =μ 2 ,δ 1 ∧δ 2 =δ 2 ⇔μ 1 ≤μ 2 ,δ 2 ≤δ 1 ,α<β⇔α≤β和α≠β⇔μ 1 <μ 2 ,δ 2 ≤δ 1 或μ 1 ≤μ 2 ,δ 2 <δ 1 。

容易证明(D2, ∨, ∧, ≤)具有极大元(1, 0)和极小元(0, 1)的一个优软代数, 即它为一个对偶的、稠密的完全分配格[39-40]。

定义1.1[39-40] 设X为经典集合, 从论域X到D2的映射˜AA ~ 叫做X上一个扰动模糊集, 即˜AA ~ :X→D2, x˜A(x)xA ~ (x), 其中˜AA ~ (x)=(Aμ(x), Aδ(x))满足Aμ(x), Aδ(x)∈[0,1]且

˜A(x)≅[max{0,Aμ(x)−Aδ(x)},min{1,Aμ(x)+Aδ(x)}。A ~ (x)≅[max{0,A μ (x)−A δ (x)},min{1,A μ (x)+A δ (x)}。

并称普通模糊集合Aμ:X→[0, 1]和Aδ:X→[0,1]分别为X的主模糊集和扰动模糊集, Aμ(x)表示人们对对象x的一个总体认识程度, Aδ(x)则表示的是因认识个体的主观或者客观的差异, 而造成的对对象x认识“干扰”产生的“扰动”程度。记论域X上的所有扰动模糊集的全体为D(X)。对于˜AA ~ =(Aμ, Aδ)∈D(X)及t, λ∈[0,1], 记

˜At,λ={x∈X|Aμ(x)≥t,Aδ(x)≤λ}。A ~ t,λ ={x∈X|A μ (x)≥t,A δ (x)≤λ}。

对X上的任意两个扰动模糊集˜AA ~ 和˜BB ~ , 定义[39]

˜A=˜B⇔˜A(x)=˜B(x),˜A⊆˜B⇔˜A(x)≤˜B(x)A ~ =B ~ ⇔A ~ (x)=B ~ (x),A ~ ⊆B ~ ⇔A ~ (x)≤B ~ (x)

对所有x∈X都成立。规定[40]:对任意x∈X, 有

(˜A∪˜B)(x)=˜A(x)∨˜B(x),(˜A∪˜B)(x)=˜A(x)∧˜B(x),(˜Ac)(x)=1−˜A(x)。(A ~ ∪B ~ )(x)=A ~ (x)∨B ~ (x),(A ~ ∪B ~ )(x)=A ~ (x)∧B ~ (x),(A ~ c )(x)=1−A ~ (x)。

显然, (∩t∈T˜A(t))(x)=∧t∈T˜A(t)(x)(∩ t∈T A ~ (t) )(x)=∧ t∈T A ~ (t) (x)且(∪t∈T˜A(t))(x)=∨t∈T˜A(t)(x)(∪ t∈T A ~ (t) )(x)=∨ t∈T A ~ (t) (x)。

定义1.2[10] 一个(2, 2, 2, 2, 0, 0)型代数(X; ∧, ∨, *, →, 0, 1)叫做BL-代数, 若下列条件成立:

(BL1) (X; ∧, ∨, 0, 1)是一个有界格;

(BL2) (X; *, 1)是一个可交换的幺半群;

(BL3)对任意x, y, z∈X, x*y≤z的充要条件为x≤y→z;

(BL4)对任意x, y∈X, x∧y=x*(x→y);

(BL5)对任意x, y∈X, (x→y)∨(y→x)=1。

命题1.1[10, 17, 31] 在BL-代数X中, 记x-=x→0, 则下列结论对任意x, y, z∈X成立:

(1) x≤y当且仅当x→y=1;

(2) x=1→x, x→(y→x)=1, x→x=1, x→1=1;

(3) x→(y→z)=(x*y)→z=y→(x→z);

(4) x*y≤x∧y, x*(x→y)≤y, x≤y→(x*y), y≤(y→x)→x;

(5) x→y≤(y→z)→(x→z), x→y≤(z→x)→(z→y);

(6) x≤y⇒y→z≤x→z, x≤y⇒z→x≤z→y;

(7) (x∨y)→z=(x→z)∧(y→z);

(8) x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z);

(9) x*(y∨z)=(x*y)∨(x*z), (x→y)*(y→z)≤x→z;

(10) x→y≤(x*z)→(y*z), x≤y→x, ((x→y)→y)→y=x→y;

(11) x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z), x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z);

(12) x≤x--, x-=x---, 1-=0, 0-=1, (y→x-)--=y→x-;

(13) (x∨y)-=x-∧y-, (x∧y)-=x-∨y-, x*x-=0;

(14) x≤y⇒y-≤x-; x→y≤x∧z→y∧z, x→y≤x∨z→y∨z;

(15) x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x), (y→x-)--=y→x-。

我们采用如下记号:x0=1, x1=x, x2=x*x, …, xn=x∗∗nxx n =x∗∗          n x。如果BL-代数满足对所有x∈X都有x*x=x, 则称该代数为G-代数。除特别申明外, 下文中X均表示BL-代数。

2 BL-代数的扰动模糊理想

定义2.1 称BL-代数X的扰动模糊集˜AA ~ =(Aμ, Aδ)为X的扰动模糊理想, 如果对任意x, y∈X, 都有

(1) Aμ(0)≥Aμ(x)且Aδ(0)≤Aδ(x);

(2) Aμ(y)≥Aμ(x)∧Aμ((x-→y-)-)且Aδ(y)≤Aδ(x)∨Aδ((x-→y-)-)。

注2.1 上面(1)和(2)可以简写成˜AA ~ (0)≥˜AA ~ (x), ˜A(y)≥˜A(x)∧˜A((x−→y−)−)A ~ (y)≥A ~ (x)∧A ~ ((x − →y − ) − )。

例2.1 设X={0, a, b, c, d, 1}, 在X上定义→和*如下表, 格关系如下图:



则X为一个BL-代数。现定义X的一个扰动模糊集˜AA ~ 为

˜A(x)={α,x∈{1,a,b},β,x∈{0,b,c},A ~ (x)={α,x∈{1,a,b},β,x∈{0,b,c},

其中α>β, 则为X的一个扰动模糊理想。

定理2.1 BL-代数X的每一个扰动模糊理想˜AA ~ 逆序, 即对任意x, y∈X, x≤y⇒˜AA ~ (x)≥˜AA ~ (y)。

证明 由x≤y, 有y-≤x-, 从而y-→x-=1, 故(y-→x-)-=1-=0。因为˜AA ~ 为扰动模糊理想, 所以Aμ(x)≥Aμ(y)∧Aμ((y-→x-)-)=Aμ(y)∧Aμ(0)=Aμ(y), 并且Aδ(x)≤Aδ(y)∨Aδ((y-→x-)-)=Aδ(y)∨Aδ(0)=Aδ(y), 即˜AA ~ (x)≥˜AA ~ (y)。

定理2.2 BL-代数X的扰动模糊集˜AA ~ 是X的扰动模糊理想的充分必要条件是对任意t, λ∈[0,1], ˜AA ~ t, λ为空集或者为X的理想。

证明 假设˜AA ~ 是X的扰动模糊理想, 且t, λ∈[0,1]使得˜AA ~ t, λ≠∅。显然, 0∈˜AA ~ t, λ。若x∈˜AA ~ t, λ且(x-→y-)-∈˜AA ~ t, λ, 那么Aμ(x)≥t, Aδ(x)≤λ, Aμ((x-→y-)-)≥t并且Aδ((x-→y-)-)≤λ。进而Aμ(y)≥Aμ(x)∧Aμ((x-→y-)-)≥t且Aδ(y)≤Aδ(x)∨ Aδ((x-→y-)-)≤λ, 即y∈˜AA ~ t, λ, 所以˜AA ~ t, λ为X的理想。

反之, 假定对任意t, λ∈[0,1], 若˜AA ~ t, λ≠∅, 则˜AA ~ t, λ为X的理想。对任意x∈X, 令t=Aμ(x)且λ=Aδ(x), 则˜AA ~ x∈t, λ。因˜AA ~ t, λ为理想, 故0∈˜AA ~ t, λ, 从而Aμ(0)≥t=Aμ(x), Aδ(0)≤λ=Aδ(x), 即˜AA ~ (0)≥˜AA ~ (x)对任意x∈X都成立。现对任意x, y∈X, 令t=Aμ(x)∧Aμ((x−→y−)−),λ=Aδ(x)∨Aδ((x−→y−)−)t=A μ (x)∧A μ ((x − →y − ) − ),λ=A δ (x)∨A δ ((x − →y − ) − ), 则x∈˜AA ~ t, λ且(x-→y-)-∈˜AA ~ t, λ。因˜AA ~ t, λ为理想, 所y∈t, λ, 于是Aμ(y)≥t=Aμ(x)∧Aμ((x-→y-)-)并且Aδ(y)≤λ=Aδ(x)∨Aδ((x-→y-)-), 即˜AA ~ (y)≥˜AA ~ (x)∧((x-→y-)-)对任意x, y∈X成立。

容易证明下列结论成立:

引理2.1 设˜AA ~ 是X的扰动模糊理想。对任意x, y∈X, 定义X上的二元关系≈如下:

x≈y当且仅当˜A((x−y)−)−˜A(0)=˜A((y−x)−),x≈y当且仅当A ~ ((x−y) − )−A ~ (0)=A ~ ((y−x) − ),

则≈为X上的等价关系, 且为X上的(∧, ∨, *, →)-型同余关系。

定理2.3 设˜AA ~ 是BL-代数X的扰动模糊理想, 令[x]˜A={y∈X|y≈x}[x] A ~ ={y∈X|y≈x}表示包含x的等价类, 且X/˜A={[x]˜A|x∈X}X/A ~ ={[x] A ~ |x∈X}, 则商代数X/˜AA ~ 关于下列运算及常量构成一个BL-代数:

[x]˜A∧[y]˜A=[x∧y]˜A,[x]˜A∨[y]˜A=[x∨y]˜A,[x]˜A∗[y]˜A=[x∗y]˜A,[x]˜A→[y]˜A=[x→y]˜A,[0]˜A={y∈X|˜A(y−−)=˜A(0)},[1]˜A={y∈X|˜A(y−)=˜A(0)}。[x] A ~ ∧[y] A ~ =[x∧y] A ~ ,[x] A ~ ∨[y] A ~ =[x∨y] A ~ ,[x] A ~ ∗[y] A ~ =[x∗y] A ~ ,[x] A ~ →[y] A ~ =[x→y] A ~ ,[0] A ~ ={y∈X∣ ∣ A ~ (y −− )=A ~ (0)},[1] A ~ ={y∈X∣ ∣ A ~ (y − )=A ~ (0)}。

其中X/˜AA ~ 上的偏序关系≤定义为:[x]˜AA ~ ≤[y]˜AA ~ 当且仅当˜AA ~ ((x→y)-)=(0)。

从BL-代数X到BL-代数Y上的映射h:X→Y叫做同态映射, 如果对任意x, y∈X,

h(x→y)=h(x)→h(y),h(x∗y)=h(x)∗h(y),h(x∧y)=h(x)→h(y),h(x∨y)=h(x)∨h(y),h(0)=0′,h(x→y)=h(x)→h(y),h(x∗y)=h(x)∗h(y),h(x∧y)=h(x)→h(y),h(x∨y)=h(x)∨h(y),h(0)=0 ′ ,

其中1′和0′分别是BL-代数Y的最大与最小元。容易证明h(1)=1′且h(x-)=(h(x))-。

定理2.4 (扰动模糊同态基本定理) 设X和Y都是BL-代数, h:X→Y是满同态映射, ˜AA ~ 是Y的扰动模糊理想, 则复合映射˜AhA ~ h是X的扰动模糊理想, 且X/˜Ah≅Y/˜AX/A ~ h≅Y/A ~ 。

证明 先证明˜AhA ~ h是X的扰动模糊理想。事实上, 对任意x, y∈X, 有˜Ah(0)=˜A(h(0))=˜A(0′)≥˜A(h(x))=˜Ah(x)A ~ h(0)=A ~ (h(0))=A ~ (0 ′ )≥A ~ (h(x))=A ~ h(x), 并且˜Ah(x)∧˜Ah((x−→y−)−)−˜A(h(x))∧˜A(h((x−→y−)−)=˜A(h(x))∧˜A(((h(x))−→h(y))−)−)≤˜A(h(y))=˜Ah(y)A ~ h(x)∧A ~ h((x − →y − ) − )−A ~ (h(x))∧A ~ (h((x − →y − ) − )=A ~ (h(x))∧A ~ (((h(x)) − →h(y)) − ) − )≤A ~ (h(y))=A ~ h(y) , 所以˜AhA ~ h是X的扰动模糊理想。

由定理2.3知, X/˜AhX/A ~ h和Y/˜AA ~ 都是BL-代数。现定义映射g:X/˜Ah→Y/˜Ag:X/A ~ h→Y/A ~ 如下:对任意x∈X, g([x]˜Ah)=[h(x)˜A]g([x] A ~ h )=[h(x) A ~ ]。于是

(1) g的定义是良好的:若[x]˜Ah=[y]˜Ah[x] A ~ h =[y] A ~ h , 则˜Ah((x→y)−)=˜Ah((y→x)−)=˜Ah(0)A ~ h((x→y) − )=A ~ h((y→x) − )=A ~ h(0)。因此, ˜A(h((x→y)−))=˜A(h((y→x)−))=˜A(h(0))A ~ (h((x→y) − ))=A ~ (h((y→x) − ))=A ~ (h(0)), 即˜A((h(x)→h(y))−)=˜A((h(y)→h(x))−)˜A(0′)A ~ ((h(x)→h(y)) − )=A ~ ((h(y)→h(x)) − )A ~ (0 ′ ), 所以[h(x)]˜A=[h(y)]˜A[h(x)] A ~ =[h(y)] A ~ 。

(2) g是同态的:对任意x, y∈X, 有

g([x]˜Ah→[y]˜Ah)=g([x→y]˜Ah)=[h(x→y)]˜A=[h(x)→h(y)]˜A=[h(x)]˜A→[h(y)]˜A=g([x]˜Ah)→g([y]˜Ah),g([x]˜Ah∗[y]˜Ah)=g([x∗y]˜Ah)=[h(x∗y)]˜A=[h(x)∗h(y)]˜A=[h(x)]˜A∗[h(y)]˜A=g([x]˜Ah)∗g([y]˜Ah),g([x]˜Ah∧[y]˜Ah)=g([x∧y]˜Ah)=[h(x∧y)]˜A=[h(x)∧h(y)]˜A=[h(x)]˜A∧[h(y)]˜A=g([x]˜Ah)∧g([y]˜Ah),g([x]˜Ah∨[y]˜Ah)=g([x∨y]˜Ah)=[h(x∨y)]˜A=[h(x)∨h(y)]˜A=[h(x)]˜A∨[h(y)]˜A=g([x]˜Ah)∨g([y]˜Ah),g([x] A ~ h →[y] A ~ h )=g([x→y] A ~ h )=[h(x→y)] A ~ =[h(x)→h(y)] A ~ =[h(x)] A ~ →[h(y)] A ~ =g([x] A ~ h )→g([y] A ~ h ),g([x] A ~ h ∗[y] A ~ h )=g([x∗y] A ~ h )=[h(x∗y)] A ~ =[h(x)∗h(y)] A ~ =[h(x)] A ~ ∗[h(y)] A ~ =g([x] A ~ h )∗g([y] A ~ h ),g([x] A ~ h ∧[y] A ~ h )=g([x∧y] A ~ h )=[h(x∧y)] A ~ =[h(x)∧h(y)] A ~ =[h(x)] A ~ ∧[h(y)] A ~ =g([x] A ~ h )∧g([y] A ~ h ),g([x] A ~ h ∨[y] A ~ h )=g([x∨y] A ~ h )=[h(x∨y)] A ~ =[h(x)∨h(y)] A ~ =[h(x)] A ~ ∨[h(y)] A ~ =g([x] A ~ h )∨g([y] A ~ h ),

且g([0]˜Ah)=[h(0)]˜A=[0′]˜Ag([0] A ~ h )=[h(0)] A ~ =[0 ′ ] A ~ , 这里0′是Y的最小元, 所以[0′]˜AA ~ 为Y/˜AA ~ 最小元。

(3) g是满同态的:对任意[y]˜A∈Y/˜A[y] A ~ ∈Y/A ~ , 这里y∈Y, 因h:X→Y是满同态映射, 所以存在x∈X使得h(x)=y, 进而g([x]˜Ah)=[h(x)]˜A=[y]˜Ag([x] A ~ h )=[h(x)] A ~ =[y] A ~ 。

(4) g是单同态的:若g([x]˜Ah)=g([y]˜Ah)g([x] A ~ h )=g([y] A ~ h ), 则[h(x)]˜A=[h(y)]˜A[h(x)] A ~ =[h(y)] A ~ , 所以

˜A((h(x)→h(y))−)=˜A((h(y)→h(x))−)=˜A(0′),A ~ ((h(x)→h(y)) − )=A ~ ((h(y)→h(x)) − )=A ~ (0 ′ ),

即˜A((h(x→y))−)=˜A((h(y→x))−)=˜A(h(0))A ~ ((h(x→y)) − )=A ~ ((h(y→x)) − )=A ~ (h(0)), 故˜A(h((x→y)−))=˜A(h((y→x)−))A ~ (h((x→y) − ))=A ~ (h((y→x) − ))。

这就是˜Ah((x→y)−)=˜Ah((y→x)−)=˜Ah(0)A ~ h((x→y) − )=A ~ h((y→x) − )=A ~ h(0), 即[x]˜Ah=[y]˜Ah[x] A ~ h =[y] A ~ h 。

综上所述, X/˜Ah≅Y/˜AX/A ~ h≅Y/A ~ 。

命题2.1 设˜AA ~ 是X的扰动模糊理想且˜AA ~ ((x-→y-)-)=˜AA ~ (0), 则˜AA ~ (x)≤˜AA ~ (y)。特别地, 对任意x, y∈X, 当x-≤y-时, 有˜AA ~ (x)≤˜AA ~ (y)。

证明 因˜AA ~ 是X的扰动模糊理想, 故˜AA ~ (y)≥˜AA ~ (x)∧˜AA ~ ((x-→y-)-)=˜AA ~ (x)∧(0)=˜AA ~ (x), 即˜AA ~ (x)≤˜AA ~ (y)。特别地, 由x-≤y-有(x-→y-)-=1-=0, 从而˜AA ~ ((x-→y-)-)=(0), 所以˜AA ~ (x)≤˜AA ~ (y)。

命题2.2 设˜AA ~ 是X的扰动模糊理想, 则对任意x∈X, ˜AA ~ (x)=(0)的充分必要条件是˜AA ~ (x--)=˜AA ~ (0)。

证明 假设˜AA ~ (x)=˜AA ~ (0), 注意到是扰动模糊理想, 有

˜A(x−−)≥˜A((x−→X−−−)−)∧˜A(x)=˜A(x)∧˜A((x−→x−)−)=˜A(0)∧˜A(0)=˜A(0);A ~ (x −− )≥A ~ ((x − →X −−− ) − )∧A ~ (x)=A ~ (x)∧A ~ ((x − →x − ) − )=A ~ (0)∧A ~ (0)=A ~ (0);

另一方面˜AA ~ (0)≥˜AA ~ (x--), 所以˜AA ~ (0)=˜AA ~ (x--)。

反之, 假定˜AA ~ (x--)=˜AA ~ (0), 因x≤x--, 依定理2.1知, ˜AA ~ (0)=˜AA ~ (x--)≤˜AA ~ (x)。再因˜AA ~ 是扰动模糊理想, 所以˜AA ~ (0)≥˜AA ~ (x), 故˜AA ~ (0)=˜AA ~ (x)。

定理2.5 X的扰动模糊集˜AA ~ 是X的扰动模糊理想的当且仅当对任意x, y, z∈X, z-→(y-→x-)=1 ⇒˜AA ~ (x)≥˜AA ~ (y)∧˜AA ~ (z)。

证明 假设˜AA ~ 是X的扰动模糊理想并且z-→(y-→x-)=1, 那么z-≤y-→x-=(y-→x-)--。依命题2.1, ˜AA ~ (z)≤˜AA ~ ((y-→x-)-)。又˜AA ~ 是扰动模糊理想, 所以˜AA ~ (x)≥˜AA ~ (y)∧˜AA ~ ((y-→x-)-)≥˜AA ~ (y)∧˜AA ~ (z)。

反之, 假定z-→(y-→x-)=1⇒˜AA ~ (x)≥˜AA ~ (y)∧˜AA ~ (z)对任意x, y, z∈X成立。因

x−→(x−→0−)=x−→(x−→1)=1,x − →(x − →0 − )=x − →(x − →1)=1,

故˜AA ~ (0)≥˜AA ~ (x)∧˜AA ~ (x)=˜AA ~ (x)。又

1=(x−→y−)→(x−→y−)=(x−→y−)−−→(x−→y−),1=(x − →y − )→(x − →y − )=(x − →y − ) −− →(x − →y − ),

所以˜AA ~ (y)≥˜AA ~ (x)∧˜AA ~ ((y-→x-)-)。综上所述, 是X的扰动模糊理想。

利用归纳法和定理2.5, 可证下列结论成立:

推论2.1 扰动模糊集˜AA ~ 是X的扰动模糊理想的当且仅当对任意x, y1, y2, …, yn∈X,

y−n→(y−n−1→(→(y−1→x−)))=1⇒˜A(x)≥˜A(y1)∧˜A(y2)∧∧˜A(yn)。y − n →(y − n−1 →(→(y − 1 →x − )))=1⇒A ~ (x)≥A ~ (y 1 )∧A ~ (y 2 )∧∧A ~ (y n )。

定义2.2 设˜BB ~ 是X的扰动模糊集.称X的扰动模糊理想˜AA ~ 是由˜BB ~ 生成的, 如果˜B⊆˜AB ~ ⊆A ~ , 且˜B⊆˜C⇒˜A⊆˜CB ~ ⊆C ~ ⇒A ~ ⊆C ~ 对任意X的扰动模糊理想˜CC ~ 都成立。记由˜BB ~ 生成的扰动模糊理想为(˜BB ~ ]。

例2.2 设X={0, a, b, 1}, 定义二元运算*, →, ∨和∧如下:



则(X; ∧, ∨, *, →, 0, 1)为BL-代数。定义X的扰动模糊

˜A=(0.8,0.2)/0+(0.5,0.3)/a+(0.5,0.3)/b+(0,2,0.2)/1。A ~ =(0.8,0.2)/0+(0.5,0.3)/a+(0.5,0.3)/b+(0,2,0.2)/1。

容易验证,

(˜A]=(0.8,0.2)/0+(0.5,0.3)/a+(0.5,0.3)/b+(0.5,0.3)/1。(A ~ ]=(0.8,0.2)/0+(0.5,0.3)/a+(0.5,0.3)/b+(0.5,0.3)/1。

符号˜11 ~ 和˜00 ~ 分别表示两个特殊扰动模糊集:对任意x∈X, ˜11 ~ (x)=(1, 0), ˜00 ~ (x)=(0, 1)。定理2.6的结论是显然的。

定理2.6 设˜AA ~ 和˜BB ~ 是X的扰动模糊集, 则

(1)若˜AA ~ 是X的扰动模糊理想, 则(˜AA ~ ]=˜AA ~ ;

(2)若˜A⊆˜BA ~ ⊆B ~ , 则(˜AA ~ ]=(˜BB ~ ];

(3) (˜1]=˜1,(˜0]=˜0(1 ~ ]=1 ~ ,(0 ~ ]=0 ~ 。

引理2.2[20] 设X为BL-代数, 且x, a1, a2, …, an, b1, b2, …, bm∈X。若b*a→x=1, a1*a2*…*an→a=1, b1*b2*…*bm→b=1, 则

b1∗b2∗∗bm∗a1∗a2∗an→x=1。b 1 ∗b 2 ∗∗b m ∗a 1 ∗a 2 ∗a n →x=1。

定理2.7 设˜AA ~ 是X的扰动模糊集。若X的扰动模糊集˜BB ~ 被定义如下:

˜B(x)=∨{˜A(a1)∧˜A(a2)∧∧˜A(an)|a−1∗a−2∗∗a−n→x−=1,a1,a2,,an∈X},B ~ (x)=∨{A ~ (a 1 )∧A ~ (a 2 )∧∧A ~ (a n )∣ ∣ a − 1 ∗a − 2 ∗∗a − n →x − =1,a 1 ,a 2 ,,a n ∈X},

则˜BB ~ =(˜AA ~ ]。

证明先证明˜BB ~ =(Bμ, Bδ)为X的扰动模糊理想。设x-*y-→z-=1对任x, y, z∈X成立。对任意ε>0, 存在a1, a2, …, an, b1, b2, …, bm∈X, 使得a1-*a2-*…*an- →x-=1并且b1-*b2-*…*bm- →y-=1满足

Bμ(x)−ε
由引理2.2知, b1-*b2-*…*bm-*a1-*a2-*…*an- →z-=1, 从而

Bμ(z)≥Aμ(b1)∧Aμ(b2)∧∧Aμ(bm)∧Aμ(a1)∧Aμ(a2)∧∧Aμ(an)>(Bμ(x)−ε)∧(Bμ(y)−ε)=Bμ(x)∧Bμ(y)−ε,B μ (z)≥A μ (b 1 )∧A μ (b 2 )∧∧A μ (b m )∧A μ (a 1 )∧A μ (a 2 )∧∧A μ (a n )>(B μ (x)−ε)∧(B μ (y)−ε)=B μ (x)∧B μ (y)−ε,



Bδ(z)≤Aδ(b1)∨Aδ(b2)∨∨Aδ(bm)∨Aδ(a1)∨Aδ(a2)∨∨Aδ(an)>(Bδ(x)+ε)∨(Bδ(y)+ε)=Bδ(x)∨Bδ(y)+ε,B δ (z)≤A δ (b 1 )∨A δ (b 2 )∨∨A δ (b m )∨A δ (a 1 )∨A δ (a 2 )∨∨A δ (a n )>(B δ (x)+ε)∨(B δ (y)+ε)=B δ (x)∨B δ (y)+ε,

因此, Bμ(z)≥Bμ(x)∧Bμ(y), Bδ(z)≤Bδ(x)∨Bδ(y)。注意到x-*y-→z-=1等价于x-→(y-→z-)=1, 结合定理2.5有˜BB ~ 是X的扰动模糊理想。

因x-→x-=1, 所以˜AA ~ (x)≤˜BB ~ (x), 即˜A⊆˜BA ~ ⊆B ~ 。假设˜A⊆˜CA ~ ⊆C ~ 且是扰动模糊理想, 则˜AA ~ (x)≤˜CC ~ (x)对任意x∈X都成立, 故

˜B(x)=∨{˜A(a1)∧˜A(a2)∧∧˜A(an)|a−1∗a−2∗∗a−n→x−=1}≤∨{˜C(a1)∧˜C(a2)∧∧˜C(an)|a−1∗a−2∗∗a−n→x−=1}≤∨{˜C(x)}=˜C(x),B ~ (x)=∨{A ~ (a 1 )∧A ~ (a 2 )∧∧A ~ (a n )∣ ∣ a − 1 ∗a − 2 ∗∗a − n →x − =1}≤∨{C ~ (a 1 )∧C ~ (a 2 )∧∧C ~ (a n )∣ ∣ a − 1 ∗a − 2 ∗∗a − n →x − =1}≤∨{C ~ (x)}=C ~ (x),

依推理2.1, 有˜B⊆˜CB ~ ⊆C ~ , 故˜B=(˜A]B ~ =(A ~ ]。

在下列讨论中, 我们需要扰动模糊点的概念。设aα是定义如下的BL-代数X的一个扰动模糊集:

aα(x)={α,x=a,(0,1),x≠a,a α (x)={α,x=a,(0,1),x≠a,

其中a∈X, α∈D2, 并称aα为X的在a处值为α的一个扰动模糊点。

引理2.3[20] 设X为BL-代数, 且对任意x, y, z∈X及正整数n, m, 若yn→x=zm→x=1, 则存在正整数p使得(y∨z)p→x=1。

定理2.8 设˜AA ~ =(Aμ, Aδ)是X的扰动模糊理想。若α=(μ1, δ1), β=(μ2, δ2)∈D2满足α≥˜AA ~ (a), β≥˜AA ~ (b)且α∧β≤˜AA ~ (a∧b), 这里a, b∈X, 则(˜AA ~ ∪aα]∩(˜AA ~ ∪bβ]˜AA ~ =。

证明 显然, (˜AA ~ ∪aα]∩(˜AA ~ ∪bβ]⊇˜AA ~ , 因此仅需证明反包含关系。对任意x∈X, 有

((˜A∪aα]∩(˜A∪bβ])(x)=(˜A∩aα](x)∧(˜A∪bβ](x)。((A ~ ∪a α ]∩(A ~ ∪b β ])(x)=(A ~ ∩a α ](x)∧(A ~ ∪b β ](x)。

对任一固定的x∈X和对任意充分小ε>0, 考虑下列三种情况:

情况1 存在a1, a2, …, an∈X\{a}使得

(ⅰ) a1-*a2-*…*an- →x-=1,

(ⅱ) (˜AA ~ ∪aα]μ(x)-ε < (˜AA ~ ∪aα)μ(a1)∧(˜AA ~ ∪aα)μ(a2)∧…∧(˜AA ~ ∪aα)μ(an),

(ⅲ) (˜AA ~ ∪aα)δ(a1)∨(˜AA ~ ∪aα)δ(a2)∨…∨(˜AA ~ ∪aα)δ(an) < (˜AA ~ ∪aα]δ(x)+ε。

因为(˜AA ~ ∪aα)(ai)=˜AA ~ (ai) (i=1, 2, …, n), 所以

(˜A∪aα]μ(x)
从而, ((˜AA ~ ∪aα]∩(˜AA ~ ∪bβ])(x)≤(˜AA ~ ∪aα](x)≤˜AA ~ (x)+ε。

情况2 存在b1, b2, …, bm∈X\{b}使得

(ⅰ) b1-*b2-*…*bm- →x-=1,

(ⅱ) (˜AA ~ ∪bβ]μ(x)-ε < (˜AA ~ ∪bβ)μ(b1)∧(˜AA ~ ∪bβ)μ(b2)∧…∧(˜AA ~ ∪bβ)μ(bm),

(ⅲ) (˜AA ~ ∪bβ)δ(b1)∨(˜AA ~ ∪bβ)δ(b2)∨…∨(˜AA ~ ∪bβ)δ(bm) < (˜AA ~ ∪bβ]δ(x)+ε。

类似情况1的证明, 有((˜AA ~ ∪aα]∩(˜AA ~ ∪bβ])(x)≤(˜AA ~ ∪bβ](x)≤˜AA ~ (x)+ε。

情况3 存在存在a1, a2, …, an∈X\{a}及正整数l使得

(ⅰ) (a-)l*a1-*a2-*…*an- →x-=1,

(ⅱ) (˜AA ~ ∪aα]μ(x)-ε < (˜AA ~ ∪aα)μ(a1)∧(˜AA ~ ∪aα)μ(a2)∧…∧(˜AA ~ ∪aα)μ(an)∧(˜AA ~ ∪aα)(a)=Aμ(a1)∧Aμ(a2)∧…∧Aμ(an)∧μ1,

(ⅲ) (˜AA ~ ∪aα]δ(x)+ε > (˜AA ~ ∪aα)δ(a1)∨(˜A∪aα)δ(a2)∨…∨(˜A∪aα)δ(an)∨(˜A∪aα]δ(a)=Aδ(a1)∨Aδ(a2)∨…∨Aδ(an)∨δ1;

也存在b1, b2, …, bm∈X\{b}和正整数k使得

(ⅳ) (b-)k*b1-*b2-*…*bm- →x-=1,

(ⅴ) (˜A∪bβ]μ(x)-ε < (˜A∪bβ)μ(b1)∧(˜A∪bβ)μ(b2)∧…∧(˜A∪bβ)μ(bm)∧(˜A∩bβ]μ(b)=Aμ(b1)∧Aμ(b2)∧…∧Aμ(bm)∧μ2,

(ⅵ) (˜A∪bβ]δ(x)+ε>(˜A∪bβ)δ(b1)∨(˜A∪bβ)δ(b2)∨…∨(˜A∪bβ)δ(bm)∨(˜A∪bβ]δ(b)=Aδ(b1)∨Aδ(b2)∨…∨Aδ(bm)∨δ2。

因为a1-*a2-*…*an-*b1-*b2-*…*bm-≤a1-*a2-*…*an-, 由引理2.2知

(a−)l∗a−1∗a−2∗∗a−n∗b−1∗b−2∗∗b−m→x−=1,

也就是

(i′)(a−)l→(a−1∗a−2∗∗a−n∗b−1∗b−2∗∗b−m→x−)=1。

类似地, 有

(iii′)(b−)k→(a−1∗a−2∗∗a−n∗b−1∗b−2∗∗b−m→x−)=1。

由(ⅰ′)、(ⅲ′)及引理2.3知, 存在正整数p使得

((a∧b)−)p→(a−1∗a−2∗∗a−n∗b−1∗b−2∗∗b−m→x−)=1.

因此, a1-*a2-*…*an-*b1-*b2-*…*bm-*((a∧b)-)p→x-=1, 进而有

Aμ(x)+ε≥Aμ(a1)∧∧Aμ(an)∧Aμ(b1)∧∧Aμ(bm)∧Aμ(a∧b)+ε≥Aμ(a1)∧∧Aμ(an)∧Aμ(b1)∧∧Aμ(bm)∧(μ1∧μ2)+ε={Aμ(a1)∧∧Aμ(an)∧μ1+ε}∧{Aμ(b1)∧∧Aμ(bm)∧μ2+ε}={(˜A∪aα)μ(a1)∧∧(˜A∪aα)μ(an)∧(˜A∪aα)μ(a)+ε}∧{(˜A∪bβ)μ(b1)∧∧(˜A∪bβ)μ(bm)∧(˜A∪bβ)μ(b)+ε}≥(˜A∪aα]μ(x)∧(˜A∪bβ]μ(x),Aδ(x)−ε≤Aδ(a1)∨∨Aδ(an)∨Aδ(b1)∨∨Aδ(bm)∨Aδ(a∧b)−ε≥Aδ(a1)∨∨Aδ(an)∨Aδ(b1)∨∨Aδ(bm)∨(δ1∧δ2)−ε={Aδ(a1)∨∨Aδ(an)∨δ1−ε}∨{Aδ(b1)∨∨Aδ(bm)∨δ2−ε}={(˜A∪aα)δ(a1)∨∨(˜A∪aα)δ(an)∨(˜A∪aα)δ(a)−ε}∨{(˜A∪bβ)δ(b1)∨∨(˜A∪bβ)δ(bm)∨(˜A∪bβ)δ(b)−ε}≤(˜A∪aα]δ(x)∨(˜A∪bβ]δ(x),

故(˜A∪aα](x)∧(˜A∪bβ](x)≤˜A(x)+ε。

综合上述三种情况, 有(˜A∪aα]∩(˜A∪bβ]⊆˜A, 从而结论得证。

3 BL-代数的扰动模糊蕴涵理想与扰动模糊Boolean理想

定义3.1 BL-代数X的扰动模糊理想˜A叫做X的扰动模糊蕴涵理想, 如果对任意x, y∈X,有˜A((x→(y→x)−)−)=˜A(0)⇒˜A(x)=˜A(0)。

例3.1 设X是例2.1中的BL-代数, 定义X的一个扰动模糊集˜A为

˜A(x)={α,x∈{1,a,d},β,x∈{0,b,c},

其中α < β, 则˜A为X的一个扰动模糊蕴涵理想。

定理3.1 X的扰动模糊理想˜A为蕴涵的当且仅当对任意t, λ∈[0,1], ˜At, λ为空集或者为X的蕴涵理想。

证明 略。

定理3.2 如果˜A为X的扰动模糊蕴涵理想, 则对任意x∈X, ˜A(x∧x-)=˜A(0)。

证明 对任意x∈X, 有

˜A(((x∧x−)→(1→(x∧x−))−)−)=˜A(((x∧x−)→(x∧x−)−)−)=˜A(((x∧x−)→(x−∨x−−))−)=˜A((((x∧x−)→x−)∨((x∧x−)→x−−))−)=˜A((1∨1)−)=˜A(0)。

因˜A为X的扰动模糊蕴涵理想, 所以˜A(x∧x-)=˜A(0)。

定义3.2 BL-代数X的扰动模糊理想˜A叫做X的扰动模糊Boolean理想, 如果对任意x∈X都有˜A(x∧x-)=˜A(0)。

定理3.3 ˜A为X的扰动模糊Boolean理想当且仅当对任意t, λ∈[0,1], ˜At, λ为空集或者为X的Boolean理想。

证明 略。

定理3.4 设˜A为X的扰动模糊Boolean理想, 如果对任意x∈X, ˜A((x→x-)-)=˜A(0), 则˜A(x)=˜A(0)。

证明 因(x∧x-)-→x-=(x-∨x--)→x-=(x-→x-)∧(x--→x-)=1∧(x-- →x-)=x--→x-=x--→(x→0)=x→(x--→0)=x→x---=x→x-。又˜A为扰动模糊理想, 故˜A(x)≥˜A(x∧x-)∧˜A([(x∧x-)-→x-]-)=˜A(x∧x-)∧˜A((x→x-)-)。注意到˜A为X的扰动模糊Boolean理想, 所以˜A(x∧x-)=˜A(0), 再˜A((x→x-)-)=˜A(0), 故˜A(x)≥˜A(0)∧˜A(0)=˜A(0)。另一方面, 因˜A为扰动模糊理想, 所以˜A(x)≤˜A(0)。综上所述, ˜A(x)=˜A(0)。

定理3.5 设˜A为X的扰动模糊理想, 则˜A为X的扰动模糊Boolean理想的充分必要条件是˜A为X的扰动模糊蕴涵理想。

证明 由定理3.2知, 每个扰动模糊蕴涵理想都是扰动模糊Boolean理想。现假设˜A为X的扰动模糊Boolean理想, 且˜A((x→(y→x)-)-)=˜A(0), 其中x, y∈X。由命题1.1(15)知, (x→(y→x)-)--=x→(y→x)-, (x→x-)--=x→x-。依命题2.1(6)有(y→x)-→x-≤(x→(y→x)-)→(x→x-)。注意到的逆序性, 有˜A([(x→(y→x)-)--→(x→x-)--]-)=˜A([(x→(y→x)-)→(x→x-)]-)≥˜A([(y→x)-→x-]-)≥˜A([x→(y→x)]-)=˜A(1-)=˜A(0), 结合定义3.1知,

˜A([(x→(y→x)−)−−→(x→x−)−−]−)=˜A(0),

并且有˜A((x→x-)-)≥˜A((x→(y→x)-)-)∧˜A([(x→(y→x)-)--→(x→x-)--]-)=˜A(0)∧˜A(0)=˜A(0)。因˜A为扰动模糊Boolean理想, 所以˜A((x→x-)-)=˜A(0), 由定理3.4得˜A(x)=˜A(0)。再由定义3.1, 有˜A为扰动模糊蕴涵理想。

定理3.6 设为BL-代数X的扰动模糊Boolean理想, 如果对任意x, y∈X, 有˜A(((x→y)-→y)-)=˜A(0), 则˜A((x→y)-)=˜A(0)。

证明 命题1.1(2)知, y≤x→y。再由命题1.1(14)有, y--≤(x→y)--。依命题1.1(12)得y≤y--, 故y≤(x→y)--。按命题2.1(7), (x→y)-→y≤(x→y)-→(x→y)--。据命题2.1(14)得((x→y)-→y)-≥((x→y)-→(x→y)--)-。注意到扰动模糊理想˜A的逆序性, ˜A(0)=A(((x→y)-→y)-)≤˜A(((x→y)-→(x→y)--)-), 结合定义2.1, 有˜A(0)=˜A(((x→y)-→(x→y)--)-)。依定理3.4有˜A(0)=˜A((x→y)-)。

定理3.7 设˜A为BL-代数X的扰动模糊理想, 则下列结论是等价的:

(1)若对任意x, y∈X, A(((x→y)-→y)-)=˜A(0), 则A((x→y)-)=˜A(0);

(2)若对任意x, y, z∈X, A(((x→y)-→z)-)=˜A(0), 则

A(((y→z)→(x→z))−)=˜A(0).

证明 (2)⇒(1)。在(2)中令y=z, 注意到命题1.1(1)和命题1.1(2)可推出(1)。

(1)⇒(2)。假设A(((x→y)-→z)-)=˜A(0)。据命题2.1(2)知, z≤x→z。按命题1.1 (7), (x→y)-→z≤(x→y)-→(x→z)。由命题1.1(6)知x→y≤(y→z)→(x→z), 依命题1.1(14)有(x→y)-≥((y→z)→(x→z))-, 于是按命题1.1(6)推知, (x→y)-→(x→z)≤((y→z)→(x→z))-→(x→z), 故(x→y)-→z≤((y→z)→(x→z))-→(x→z), 进而, (((y→z)→(x→z))-→(x→z))-≤((x→y)-→z)-。因扰动模糊理想˜A是逆序的, ˜A((((y→z)→(x→z))-→(x→z))-)≥˜A(((x→y)-→z)-)=˜A(0)。结合定义2.1, ˜A((((y→z)→(x→z))-→(x→z))-)=˜A(0), 再由(1)可推得, ˜A(((y→z)→(x→z))-)=˜A(0), 即(2)成立。

4 BL-代数的扰动模糊素理想及其关联扰动模糊理想

定义4.1 BL-代数X的非常值扰动模糊理想˜A叫做X的扰动模糊素理想, 如果对任意x, y∈X, 有˜A(x∧y)≤˜A(x)∨˜A(y)。

定理4.1 BL-代数X的非常值扰动模糊集合˜A是X的扰动模糊素理想当且仅当对任意t, λ∈[0,1], ˜At, λ为空集或者为X的素理想。

证明略。

例4.1 设α, β∈D2且α < β。若I是BL-代数X的素理想, J是X的非平凡理想且I ⊂J, 则函数˜A:X→D2为X的扰动模糊素理想, 其中

˜A(x)={β,x∈I,α,x∈J−I,(0,1),x∈J.

定理4.2 设˜A为X的扰动模糊理想, 则˜A为X的扰动模糊素理想的充要条件˜AAμ(0), Aδ(0)为X的素理想。

证明 由定理4.1知, 仅需证明若˜AAμ(0), Aδ(0)为X的素理想, 则˜A为X的扰动模糊素理想。事实上, 当t > Aμ(0)或λ < Aδ(0)时, ˜At, λ=∅;当inf{Au(x)|x∈X}≤t≤Aμ(0)且Aδ(0)≤λ≤sup{Aδ(x)|x∈X}时, ˜AAμ(0), Aδ(0) ⊆˜At, λ≠X, 所以˜At, λ为X的素理想; 当0≤t < inf{Au(x)|x∈X}且sup{Aδ(x)|x∈X} < λ≤1时, ˜At, λ=X。依定理4.1, 为X的扰动模糊素理想。

定理4.3 X的非常值扰动模糊理想˜A为X的扰动模糊素理想的充要条件是˜A(x∧y)=˜A(0)意味着˜A(x)=˜A(0)或˜A(y)=˜A(0)。

证明 假设˜A为X的扰动模糊素理想, 则依定理4.2知, ˜AAμ(0), Aδ(0)为X的素理想。如果˜A(x∧y)=˜A(0), 则x∧y∈˜AAμ(0), Aδ(0), 从而x∈˜AAμ(0), Aδ(0)或y∈˜AAμ(0), Aδ(0), 因此˜A(x)=˜A(0)或˜A(y)=˜A(0)。

反之, 假设对任意x, y∈X, ˜A(x∧y)=˜A(0)意味着˜A(x)=˜A(0)或˜A(y)=˜A(0)。这等价于x∧y∈˜AAμ(0), Aδ(0),从而有x∈˜AAμ(0), Aδ(0)或y∈˜AAμ(0), Aδ(0), 因此˜AAμ(0), Aδ(0)为X的素理想, 由定理4.2知, ˜A为X的扰动模糊素理想。