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一类满足G2连续的三角Bézier曲线曲面的构造

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-04一类满足G2连续的三角Bézier曲线曲面的构造论文作者:刘华勇 谢新平 李璐 张大明 王焕宝,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 连续性 融合 三角函数 Bézier曲线曲面 拼接
摘要: 为了在相对简单的条件下满足相对较高的光滑融合, 同时在不改变控制顶点的情况下也可以修改曲线曲面的形状, 构造了一组低阶的带有两个形状参数的三角Bézier基函数。基于该组基函数, 通过三角函数的组合方式定义了任意阶三角Bézier曲线曲面, 并详细讨论曲线的基本性质, 同时也讨论了曲线、曲面的光滑融合所满足的条件。根据融合条件, 可构造分段光滑的组合曲线曲面。这种融合的曲线曲面可以通过修改控制顶点和参数的方法来调节曲线曲面的形状, 但不会改变曲线曲面的连续性并且在一定条件下能自动保证组合曲线、曲面的G2连续且计算简单。数值实例结果显示了该方法的有效性。

0 引言

在自由曲线曲面的外形设计和实际应用中, 曲线与曲面的研究已经有了相当一段时间。曲线曲面表示及其实用高效的计算需要有CAGD(computer aided geometric design, CAGD)方法。B样条曲线曲面和Bézier曲线曲面已广泛应用于CAD系统中。在自由曲线曲面造型中, 一般以多项式为基函数构造参数曲线曲面, 而三角函数空间具有独特的一些特性, 从而在三角函数空间中也能构造参数曲线曲面[1-2]。样条随着形状参数已被开发作为一种替代。形状参数在交互式形状设计中起着至关重要的作用[3-6]。同时鉴于三角样条的应用潜力, 文献[7-8]提出了具有多种优点的三角多项式曲线曲面, 文献[9]介绍了一类带有局部形参的Bézier曲线曲面的多项式曲线。此形状参数有助于更好地控制形状得到所需的曲线, 并得出比传统的二次B样条曲线具有更好的逼近性。文献[10]提出具有多个局部的形参的Bézier曲线曲面, 类似于三次B样条曲线形状参数不同取值的参数连续性的不同层次。后来有的学者提出C2分段二次一个全局形状参数的三角多项式曲线[11]和三次三角多项式曲线曲面[12-16]。但这种曲线曲面的融合相对较为困难且融合的计算复杂度相对较高, 而且连续性也不是很高。针对这个问题, 本文基于文献[8]思想将其扩充到三角Bézier曲线曲面中来研究其性质, 能够在简单的条件下满足相对较高的光滑融合, 同时在不改变控制顶点的情况下可以修改曲线曲面的形状。本文主要采用构造二阶的带形状参数的三角Bézier基函数。然后利用线性组合的方法来构造带形状参数的任意阶三角Bézier基函数, 定义了任意阶的带形状参数的三角Bézier曲线曲面, 同时讨论了曲线、曲面的光滑融合所满足的条件。根据融合条件, 可构造分段光滑的组合曲线曲面。这种融合的曲线曲面能保证组合曲线、曲面的连续性且构造相对较灵活, 且可以通过两种方式来调整曲线的连续性, 但不改变曲线曲面的连续性, 该方法较为简单。数值实例结果显示了该方法的有效性。

1 n阶三角Bézier基函数的定义和性质

1.1 n阶三角Bézier基函数的定义

定义1 设α, β∈[-1, 1]对t∈[0, 1], 称(1)式为带两个参数α, β的三阶三角Bézier基函数。

{r20=(1−s)(1−αs),r21=1−r20−r22,r22=(1−c)(1−βc). r 20 =(1−s)(1−αs),r 21 =1−r 20 −r 22 ,r 22 =(1−c)(1−βc). (1)

其中: s=sin(πt/2), c=cos(πt/2), 对任意的正整数n(n≥3), 称由递推公式(2)定义的函数rni(t)(i=0, 1, …, n)为带参数α, β的n阶三角Bézier基函数。

rni(t)=c2rn−1,i(t)+s2rn−1,i−1(t),t∈[0,1]。r ni (t)=c 2 r n−1,i (t)+s 2 r n−1,i−1 (t),t∈[0,1]。 (2)

在上式中, 规定bn-1, -1(t)=bn-1, n(t)=0。

为了简洁起见, 称上面定义的函数rni(t)(i=0, 1, …, n; n≥2)为n阶三角Bézier基函数, 在不引起混淆的情况下, 本文将rni(t)简记为rni。

1.2 n阶三角Bézier基函数的性质

(1)非负性。当α, β∈[-1, 1]时, n阶三角Bézier基函数rni≥0(i=0, 1, …, n; n≥2)。

证明 当n=2时, 由式(1)可以得出: r2i≥0以及c2≥0, s2≥0的事实, 可以知道n阶的三角Bézier基函数是非负的, 所以n阶三角Bézier基函数的非负性成立。

(2)拟对称性。将t用(1-t)替换, 且α与β互换, 即rni(t; α, β)=rn, n-i(1-t; β, α)。

证明 主要利用归纳法证明。当n=2时, 由式(1)可知

r20(t;α,β)=r22(1−t;β,α);r22(t;α,β)=r20(1−t;β,α);r21(t;α,β)=r21(1−t;β,α),r 20 (t;α,β)=r 22 (1−t;β,α);r 22 (t;α,β)=r 20 (1−t;β,α);r 21 (t;α,β)=r 21 (1−t;β,α),

假设k阶三角Bézier基函数满足拟对称性, 当n=k+1时, 由式(2)可得

rk+1,k+1−i(1−t;β,α)=cos2(π(1−t)/2)rk,k+1−i(1−t;β,α)+sin2(π(1−t)/2)rk,k−i(1−t;β,α)=sin2(πt/2)rk,i−1(t;α,β)+cos2(πt/2)bk,i(t;α,β)=bk+1,i(t;α,β).r k+1,k+1−i (1−t;β,α)=cos 2 (π(1−t)/2)r k,k+1−i (1−t;β,α)+sin 2 (π(1−t)/2)r k,k−i (1−t;β,α)= sin 2 (πt/2)r k,i−1 (t;α,β)+cos 2 (πt/2)b k,i (t;α,β)=b k+1,i (t;α,β).

所以n阶三角Bézier基函数也是满足对称性的。

(3)端点性质。对i=0, 1, …, n(n≥2), 有

rni(0)={1,i=0,0,i≠0;r′ni(0)={−π(1+α)/2,i=0,π(1+α)/2,i=1,0,i≠0,1;r″ni(0)={−π2(n−2)/2+απ2/2,i=0,π2(n−2)/2−π2(2α−β+1)/4,i=1,π2(1−β)/4,i=2,0,i≠0,1,2。r ni (0)={1,i=0,0,i≠0; r ′ ni (0)= −π(1+α)/2,i=0,π(1+α)/2,i=1,0,i≠0,1; r ′′ ni (0)= −π 2 (n−2)/2+απ 2 /2,i=0,π 2 (n−2)/2−π 2 (2α−β+1)/4,i=1,π 2 (1−β)/4,i=2,0,i≠0,1,2。 (3)
rni(1){1,i=n,0,i≠n;r′ni(1)={−π(1+β)/2,i=n,π(1+β)/2,i=n−1,0,i≠n,n−1;r″ni(1)={−π2(n−2)/2+βπ2/2,i=n,π2(n−2)/2−π2(2β−α+1)/4,i=n−1,π2(1−α)/4,i=n−2,0,i≠n,n−1,n−2。 (4)

证明 采用归纳法来证明式(3)和式(4)的正确性。

当n=2时, 由式(1)可以算出, 当t=0时, 由r20(0)=1, r21(0)=r22(0)=0, 可知式(3)是正确的。假设当n=k时, 式(3)也是正确的, 则当n=k+1时, 由式(2)可得:

{rk+1,i=c2rki+s2rk,i−1,r′k+1,i=c2r′ki+s2r′k,i−1+πsc(rk,i−1−rki),r″k+1,i=c2r″ki+s2r″k,i−1+2πsc(r′k,i−1−r′ki)+π2(c2−s2)(rk,i−1−rki)/2。 (5)

在式(5)中, 令t=0, 则s=0, c=1, 于是可得:

rk+1,i(0)=rki(0),r′k+1,i(0)=r′ki(0),r″k+1,i(0)=π2(rk,i−1(0)−rki(0))/2+r″ki(0)={−π2(k−1)/2+απ2/2,i=0,π2(k−1)/2−π2(2α−β+1)/4,i=1,π2(1−β)/4,i=2,0,i≠0,1,2。

所以, 当n=k+1时, 式(3)是正确的。另外, 由于三角Bézier基函数具有拟对称性, 即rni(t; α, β)=rn, n-i(1-t; β, α)成立, 可得r′ni(t; α, β)=-r′n, n-i(1-t; β, α)。故:

rni(1)=rn,n−1(0)={1,i=n,0,i≠n,r′ni(1)=−r′n,n−i(0)={π(1+β)/2,i=n,−π(1+β)/2,i=n−1,0,i≠n,n−1,r″ni(1)=r′n,n−1(0)={−π2(n−2)/2+βπ2/2,i=n,π2(n−2)/2−π2(2β−α+1)/4,i=n−1,π2(1−α)/4,i=n−2,0,i≠n,n−1,n−2。 (6)

由(6)式可知式(4)的结论是正确的。综上所述, 三角Bézier基函数的端点性质是成立的。

(4)规范性。当n≥2时, n∑i=0rni≡1。

证明 当n=2时, 由式(1)可有: 2∑i=0r21≡1。所以三阶三角Bézier基函数的规范性成立。

假设k阶三角Bézier基函数满足规范性, 当n=k+1时, 由式(2)有:

k+1∑i=0rk+1,i=k+1∑i=0(c2rki+s2rk,i−1)=c2k∑i=0rki+s2k+1∑i=0rk,i−1=c2+s2≡1。

这就说明n阶三角Bézier基函数也是满足规范性的。

2 n阶三角Bézier曲线的定义与性质

定义2 给定n+1个控制顶点Vi∈Rd(d=2, 3;i=0, 1, …, n; n≥2)与参数α, β∈[-1, 1], 称式(7)为带形状参数α, β的n阶三角Bézier基函数, 简记称n阶三角Bézier曲线。

r(t)=n∑i=0rni0(t)Vi,t∈[0,1]。 (7)

图 1分别给出了带不同形状参数的3~6阶三角Bézier曲线, 由图可知, 随着参数越来越大, 曲线越靠近控制多边形, 逼近效果越好。

图 1
图 1 带不同参数的3-6阶Bézier曲线
Fig. 1 Three-six order Bézier curves with different parameters
由三角Bézier基函数的性质, 可以知道三角Bézier曲线具有类似于Bézier曲线的性质:

(1)凸包性。由三角Bézier基函数的非负性和规范性可知, 三角Bézier曲线位于其控制顶点形成的凸包内。所以三角Bézier曲线具有凸包性。

(2)对称性。由三角Bézier基函数的对称性可知, 取相同的参数α, β时, 由控制多边形R0R1…Rn和RnRn-1…R0所生成的曲线形状是相同的, 只是曲线的方向是相反的。

(3)端点性质。由三角Bézier基函数的端点性质可以推出如下的式(8):

{r(0)=V0,r′(0)=π(1+α)(V1−V0)/2,r″(0)π2(n−2)(V1−V0)/2+π2[2αV0−(2α−β+1)V1+(1−β)V2]/4,r(1)Vn,r′(1)=π(1+β)(Vn−Vn−1)/2,r″(1)=−π2(n−2)(Vn−Vn−1)/2+π2[2βVn−(2β−α+1)Vn−1+(1−α)Vn−2]/4. (8)

由端点的性质知, 曲线插值于控制多边形首末控制顶点, 且与控制多边形的首末边相切。

(4)几何不变性与仿射不变性。由三角Bézier基函数的规范性可知, 一方面, 三角Bézier曲线的形状仅依赖于控制顶点, 几何变换不改变曲线的形状; 另一方面, 对控制多边形缩放或者错切等仿射变换, 所对应的新曲线就是原曲线经过相同仿射变换后的曲线。

(5)形状可调性。由于三角Bézier基函数中含有参数α, β, 选择不同的α, β值, 可以得到不同的基函数, 因此即使在控制顶点不变的情况下, 依然可以通过改变α, β的值, 调整三角Bézier曲线的形状。由公式(8)的端点性质可知, 随着形状参数的越来越大, 曲线越靠近控制多边形, 逼近效果越好。

3 n阶三角Bézier曲线组合的连续性

为了方便起见, 下文中将用rni(t; α, β)表示带参数α, β的三角Bézier基函数。

定理1 设有n阶的三角Bézier曲线r1(t)=n∑i=0rni(t;α1,β1)Vi与m阶的三角Bézier曲线r2(t)=m∑i=0rmi(t;α2,β2)Ri, 若式(9)成立, 则两条三角Bézier曲线满足G2连续。

{R0=Vn,R1=R0+C(Vn−Vn−1),2α2R0−(2α2−β2+1)R1+(1+β2)R2=2β1Vn−(2β1−α1+1)Vn−1+(1−α1)Vn−2, (9)

其中C为大于0的任意常数。

证明由式(8)和式(9)所给的条件下, 通过计算可以得到:

{r2(0)=r1(1),r′2(0)=γ1r′1(1),r″2(0)=γ2r′1(1)+r″1(1), (10)

其中γ1=C(1+α2)/(1+β1)γ2=π[C(n−2)+(m−2)]/(1+β1)。所以这两条三角Bézier曲线G2连续。

注 对于公式(9)来说, 在满足G1连续的情况下, 可以有两种方法使得曲线满足G2连续:

(1)使得4个形状参数α1, α2, β1, β2和5个控制顶点R0, R1, R2; Vn, Vn-1保持不变, 通过关系式2α2R0-(2α2-β2+1)R1+(1-β2)R2=2β1Vn-(2β1-α1+1)Vn-1+(1-α1)Vn-2来求得满足G2连续的第6个控制顶点Vn-2;

(2)在给定6个控制顶点的R0, R1, R2; Vn, Vn-1; Vn-2不变和4个形状参数α1, α2, β1, β2中的3个形状参数已知情况下, 通过关系式

2α2R0−(2α2−β2+1)R1+(1−β2)R2=2β1Vn−(2β1−α1+1)Vn−1+(1−α1)Vn−2,

来求4个形状参数α1, α2, β1, β2中一个未知数, 以便达到满足G2连续的条件。这种方法相对比较灵活, 设计者可以根据自身需求来选择哪种方法更加适合于设计。特别地, 由公式(9)知, 当α1=β2=1时, 两曲线在满足G1连续的情况下, 曲线自动满足G2连续。

图 2
图 2 两种不同情况下的G2连续的构造
Fig. 2 G2 continuous construction in two different cases
图 3
图 3 G2连续情况下的旋转面构造
Fig. 3 Rotating surface structure in G2 continuous case
4 n阶三角Bézier曲面组合的连续性

定义3给定(m+1)×(n+1)阵列的控制顶点Vij∈R3(i=0,1,,m;j=0,1,n;m,n≥2), 以及参数αu, βu, αv, βv∈[-1, 1], 称式(11)为带参数αu, βu, αv, βv的(m+1)×(n+1)阶三角Bézier曲面。

r(u,v)=m∑i=0n∑j=0rmi(u;αu,βu)rnj(v;αv,βv),0≤u,v≤1。 (11)

三角Bézier曲面具有与三角Bézier曲线类似的性质, 但是对于组合三角Bézier曲面的连续性, 有如下的结论。

定理2设有m×n1阶三角Bézier曲面r1(u,v)=m∑i=0n1∑j=0rmi(u;a0,β0)rn1j(v;α1,β1)Vij与m×n2阶三角Bézier曲面r2(u,v)=m∑i=0n2∑j=0rmi(u;α0,β0)rn2j(v;α2,β2)Rij, 如果满足

{Ri0=Vin1,Ri1=R0+C(Vi,n1−Vi,n1−1),2α2Ri0−(2α2−β2+1)Ri1+(1+β2)Ri2=2β1V1,n1−(2β1−α1+1)V1,n1−1+(1−α1)Vi,n1−2, (12)

其中C>0, i=0, 1, …, m, 则两张曲面自动满足G2连续。

证明 由式(8)~(11)可以得到:

r2(u,0)=m∑i=0rmi(u;α0,β0)Ri0;r1(u,1)=n∑i=0rmi(u;α0,β0)Vi,n1,∂ ∂v r2(u,0)=π 2 (2+α2)m∑i=0rmi(u;α0,β0)(Ri1−Ri0),∂ ∂v r1(u,1)=π 2 (2+β1)m∑i=0rmi(u;α0,β0)(Vi,n1−Vi,n1−1),∂2 ∂v r2(u,0)=m∑i=0rmi(u;α0,β0)[π2 2 (n2−2)(Ri1−Ri0)+π2 4 [2α2Ri0−(2α2−β2+1)Ri1+(1−β2)Ri2]],∂2 ∂v2 r1(u,1)=m∑i=0rmi(u;α0,β0)[−π2 2 (n1−2)(Vi,n−Vi,n−1)+π2 4 [2β1Vi,n−(2β1−α1+1)Vi,n−1+(1−α1)Vi,n−2]]。

在式(12)所给的条件下, 有

{r2(u,0)=r1(u,1),∂ ∂v r2(u,0)γ1∂ ∂v r1(u,1),∂2 ∂v2 r2(u,0)=∂2 ∂v2 r1(u,1)+γ2∂ ∂v r1(u,1), (13)

其中

γ1=C(1+α2)/(1+β1),γ2=π[C(n1−2)+(n2−2)]/(1+β1)。

即曲面满足G2连续。特别地, 由公式(12)知, 当α1=β2=1时, 两曲线在满足G1连续的情况下, 曲线自动满足G2连续。图 4所示在相同控制网格下, 通过选择不同的形状参数得到的三角Bézier曲面构成的两张G2连续的组合曲面。