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伪黎曼空间形式中类空子流形Chen不等式的两种结果

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-04伪黎曼空间形式中类空子流形Chen不等式的两种结果论文作者:苏曼 张量,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 伪黎曼空间形式 类空子流形 不等式 爱因斯坦流形
摘要: 研究了伪黎曼空间形式中类空子流形δ-不变量δM的不等式中等号成立的情况, 并将其推广为关于广义δ-不变量δ(n1, …, nk)的不等式, 并且给出了满足不等式的一些例子。

1 主要结果

建立内蕴不变量和外在不变量之间的关系, 是子流形几何中的基本问题之一, 这些关系多数可以由不等式来刻画。另一方面, 为了解决文献[1]中提出的关于极小浸入到任意维欧式空间的存在性问题, 文献[2]对截面曲率为常数c的实空间形式子流形建立了关于数量曲率τ, 截面曲率K, 平均曲率H的不等式如下:

$ \inf K \ge \frac{1}{2}\left\{ {\tau - \frac{{{n^2}\lef( {n - 2} \right)}}{{n - 1}}{H^2} - \lef( {n + 1} \right)\lef( {n - 2} \right)c} \right\}。 $ (1)

文献[3]定义了新的不变量δM, 称为δ-不变量。设M是n维的黎曼流形, x∈M, e1, …, en是切空间TxM中的单位正交基, 那么M在x点的数量曲率为$ \tau \lef( x \right) = \sum\limits_{1 \le i < j \le n} {R\lef( {{\boldsymbol{e}_i}, {\boldsymbol{e}_j}, {\boldsymbol{e}_i}, {\boldsymbol{e}_j}} \right)} $, 其中R是M的黎曼曲率张量。记K为M在x点的截面曲率, 那么δ-不变量定义为

$ {\delta _M}\lef( x \right) = \tau \lef( x \right)-\lef( {\inf K} \right)\lef( x \right), $

因此不等式(1)可改写为

$ {\delta _M} \le \frac{{n - 2}}{2}\left\{ {\frac{{{n^2}}}{{n - 1}}{H^2} + \lef( {n - 1} \right)c} \right\}。 $

类似这样的不等式也称为Chen不等式, 等号成立的情况称为相应的Chen等式。文献[4]专门研究了实空间形式中满足Chen等式一些特殊黎曼子流形的性质并得到一些有趣的结论。

随后, 人们在不同的外围空间中研究δ-不变量并建立相应的Chen不等式, 如复空间形式[5]、拟常曲率空间[6]、伪黎曼空间形式[7]。

定理A[7]设Nmn+m(c)是指标为m截面曲率为常数c的伪黎曼空间形式, Mn(n≥3)为Nmn+m(c)中类空子流形, 则关于δM有如下不等式:

$ {\delta _M} \ge \frac{{\lef( {n - 2} \right)\lef( {n + 1} \right)}}{2}c - \frac{{{n^2}\lef( {n - 2} \right)}}{{2\lef( {n - 1} \right)}}{H^2}。 $ (2)

其中H为M的平均曲率, 上述不等式在x∈M处等号成立当且仅当切空间TxM和法空间Tx⊥M中分别存在单位正交基{e1, …, en}和{en+1, …, en+m}使得在x点处的形状算子Aα=Aeα有如下形式:

$ {\boldsymbol{A}_\alpha } = \lef( {\begin{array}{*{20}{c}} {h_{11}^\alpha }&{h_{12}^\alpha }&0& \cdots &0\\ {h_{12}^\alpha }&{h_{22}^\alpha }&0& \cdots &0\\ 0&0&{h_{11}^\alpha + h_{22}^\alpha }& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0& \cdots &{h_{11}^\alpha + h_{22}^\alpha } \end{array}} \right), \alpha = n + 1, \cdots, n + m。 $

本文在文献[7]的基础上, 进一步研究不等式(2)等号成立时的情况, 得到以下结果。

定理1设Nmn+m(c)是指标为m截面曲率为常数c的伪黎曼空间形式, Mn(n≥3)为Nmn+m(c)中类空子流形, 如果M是Einstein流形, 则不等式(2)等号成立当且仅当M是全测地的。

文献[8]将不变量δM推广到更为一般的情况, 定义了广义δ-不变量δ(n1, …, nk), 具体地:对于整数k≥1, 记S(n, k)为包含k元无序数组(n1, …, nk)的有限集合, 且满足n1 < n和n1+…+nk≤n。令$ {\tilde S} $(n)=∪k≥1S(n, k)。对于每一个k元数组(n1, …, nk)∈(n), 定义δ(n1, …, nk)为

$ \delta \lef( {{n_1}, \cdots ,{n_k}} \right)\lef( x \right) = \tau \lef( x \right) - \inf \left\{ {\tau \lef( {{L_1}} \right) + \cdots + \tau \lef( {{L_k}} \right)} \right\}。 $ (3)

其中L1, …, Lk为TxM中相互正交的子空间, 并且dimLj=nj, j=1, …, k, 特别地, 当k=1, n1=2时, δ(n1, …, nk)=δM, 其中K为截面曲率。

随着δ-不变量的引入, 越来越多的学者开始对不同的空间建立这一内蕴不变量与外在不变量之间的不等式[5, 8-10]。本文将对伪黎曼空间形式中类空子流形建立如下关于δ(n1, …, nk)的不等式。

定理2设Nmn+m(c)是指标为m截面曲率为常数c的伪黎曼空间形式, Mn(n≥3)为Nmn+m(c)中类空子流形, 则对于任意的k元数组(n1, …, nk)∈$ {\tilde S} $(n), 有

$ \delta \lef( {{n_1}, \cdots ,{n_k}} \right) \ge d\lef( {{n_1}, \cdots ,{n_k}} \right)c - c\lef( {{n_1}, \cdots ,{n_k}} \right){H^2}, $ (4)

其中

$ c\lef( {{n_1}, \cdots ,{n_k}} \right) = \frac{{{n^2}\lef( {n + k - 1 - \sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}} } \right)}}{{2\lef( {n + k - \sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}} } \right)}}, $ (5)
$ d\lef( {{n_1}, \cdots ,{n_k}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {n\lef( {n - 1} \right) - \sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}\lef( {{n_j} - 1} \right)} } \right]。 $ (6)

H表示M的平均曲率, 上述不等式等号成立当且仅当在切空间TxM和法空间Tx⊥M中分别存在一组单位正交基{e1, …, en}, {en+1, …, en+m}使得形状算子Aα=Aeα有如下形式:

$ {\boldsymbol{A}_{n + 1}} = \lef( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&0& \cdots &0\\ 0&{{a_2}}& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0& \cdots &{{a_n}} \end{array}} \right), {\boldsymbol{A}_\alpha } = \lef( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{A}_1^\alpha }& \cdots &0&0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& \cdots &{\boldsymbol{A}_k^\alpha }&0\\ 0& \cdots &0&{{\mu _\alpha }I} \end{array}} \right), \alpha = n + 2, \cdots, n + m, $

这里a1, a2, …, an满足

$ {a_1} + \cdots + {a_{{n_1}}} = \cdots = {a_{{n_1} + \cdots + {n_{k-1}} + 1}} + \cdots + {a_{{n_1} + \cdots + {n_k}}} = {a_{{n_1} + \cdots + {n_k}-1}} = \cdots = {a_n}, $

Ajα是nj阶对称矩阵并且tr(A1α)=…=tr(Akα)=μα, μα是M上的函数。

注 当k=1, n1=2时, δ(n1, …, nk)=δM, 不等式即为定理A(见文献[7]中定理1)。

2 预备知识

设M是伪黎曼空间形式Nmn+m的n维类空子流形, 在Nmn+m上选取局部伪黎曼正交标架场{eA}, 使得〈ei, ej〉=δij, 〈eα, eβ〉=-δαβ, 〈ei, eα〉=0, 且{ei}与Mn相切。本文约定各类指标的取值范围为

$ \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \cdots = 1, 2, \cdots, n + m;i, j, k, \cdots = 1, 2, \cdots, n;\alpha, \beta, \gamma, \cdots = n + 1, n + 2, \cdots n + m。 $

设ωA是eA的对偶标架场, 那么Nmn+m的结构方程为:

$ d{\omega _{A}} = - \sum\limits_B {{\varepsilon _B}{\omega _{AB}}} \wedge {\omega _B},{\omega _{AB}} + {\omega _{BA}} = 0, $ (7)
$ d{\omega _{AB}} = - {\varepsilon _C}{\omega _{AC}} \wedge {\omega _{CB}} + \frac{1}{2}\sum\limits_{C,D} {{K_{ABCD}}{\varepsilon _C}{\varepsilon _D}{\omega _C}} \wedge {\omega _D}, $ (8)
$ {K_{ABCD}} = {\varepsilon _A}{\varepsilon _B}c\lef( {{\delta _{AC}}{\delta _{BD}} - {\delta _{AD}}{\delta _{BC}}} \right)。 $ (9)

其中εi=1, εα=-1, KABCD是Nmn+m的曲率张量的分量。由式(7)~(9), 限制到Mn上有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _{\alpha i}} = \sum\limits_j {h_{ij}^\alpha {\omega _j},h_{ji}^\alpha = h_{ji}^\alpha ,h = \sum\limits_{\alpha ,i,j} {h_{ij}^\alpha {\omega _i} \otimes {\omega _j} \otimes {\boldsymbol{e}_\alpha }} ,\xi = \frac{1}{n}\sum\limits_{\alpha ,i} {h_{ii}^\alpha {\boldsymbol{e}_\alpha }} ,} }\\ {{R_{ijkl}} = c\lef( {{\delta _{ik}}{\delta _{jl}} - {\delta _{il}}{\delta _{jk}}} \right) - \sum\limits_\alpha {\lef( {h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha - h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha } \right)} 。} \end{array} $ (10)

其中h, ξ, Rijkl分别是Mn的第二基本形式, 平均曲率向量, 曲率张量的分量。记平均曲率H=‖ξ‖, 第二基本形式模长平方σ=‖h‖2。若h=0, 则M称为全测地子流形, 若H=0, 则M称为Nmn+m的极大子流形。

用K(π)表示平截面π⊂TxM, x∈M的截面曲率, 那么x处的数量曲率τ, Ricci曲率分别定义为

$ \tau \lef( x \right) = \sum\limits_{i < j} {K\lef( {{\boldsymbol{e}_i} \wedge {\boldsymbol{e}_j}} \right)} , $ (11)
$ {\rm{Ric}}\lef( {{\boldsymbol{e}_i},{\boldsymbol{e}_j}} \right) = \sum\limits_k {{R_{ikjk}}} 。 $ (12)

在本文主要定理的证明过程中, 我们需要如下引理。

引理1[2]设a1, a2, …, an, b是n+1个实数, n≥2, 使得

$ {\lef( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)^2} = \lef( {n-1} \right)\lef( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2 + b} } \right), $

那么有2a1a2≥b, 等号成立当且仅当a1+a2=a3=…=an。

3 定理1的证明

记aα=h11α, bα=h22α, cα=h12α, 由定理A以及Gauss方程可以得到, 对于任意i, j > 2,

$ {K_{12}} = c - \sum\limits_\alpha {\lef( {{a_\alpha }{b_\alpha } - c_\alpha ^2} \right)} , $ (13)
$ {K_{1j}} = c - \sum\limits_\alpha {\lef( {a_\alpha ^2 + {a_\alpha }{b_\alpha }} \right)} , $ (14)
$ {K_{2j}} = c - \sum\limits_\alpha {\lef( {b_\alpha ^2 + {a_\alpha }{b_\alpha }} \right)} , $ (15)
$ {K_{ij}} = c - \sum\limits_\alpha {{{\lef( {{a_\alpha } + {b_\alpha }} \right)}^2}} 。 $ (16)

又由(12)有

$ {\rm{Ric}}\lef( {{\boldsymbol{e}_1},{\boldsymbol{e}_1}} \right) = {K_{12}} + \lef( {n - 2} \right)\left[ {c - \sum\limits_\alpha {\lef( {a_\alpha ^2 + {a_\alpha }{b_\alpha }} \right)} } \right], $ (17)
$ {\rm{Ric}}\lef( {{\boldsymbol{e}_2},{\boldsymbol{e}_2}} \right) = {K_{12}} + \lef( {n - 2} \right)\left[ {c - \sum\limits_\alpha {\lef( {b_\alpha ^2 + {a_\alpha }{b_\alpha }} \right)} } \right], $ (18)
$ {\rm{Ric}}\lef( {{\boldsymbol{e}_i},{\boldsymbol{e}_i}} \right) = \lef( {n - 1} \right)c - \lef( {n - 2} \right)\left[ {\sum\limits_\alpha {{{\lef( {{a_\alpha } + {b_\alpha }} \right)}^2}} } \right]。 $ (19)

先证必要性。设M是Einstein流形, 那么由(17)和(18)有

$ \lef( {{a_\alpha }-{b_\alpha }} \right)\lef( {{a_\alpha } + {b_\alpha }} \right) = 0, $

当aα-bα=0时, 由(17)和(19)可以得到

$ \lef( {2n-5} \right)\sum\limits_\alpha {a_\alpha ^2} + \sum\limits_\alpha {c_\alpha ^2} = 0, $

因此aα=bα=cα=0, 也即M是全测地子流形; 当aα+bα=0时, 由(18)和(19)有

$ \sum\limits_\alpha {\lef( {a_\alpha ^2 + c_\alpha ^2} \right)} = 0, $

故aα=bα=cα=0, 也即M是N的全测地子流形。此时, 若M全测地, 由式(13)~(16)显然有M是截面曲率为c的常曲率黎曼流形。

易证其充分性同样成立。

4 定理2的证明

设x∈Mn, {e1, …, en}, {en+1, …, en+m}分别是切空间TxM和法空间Tx⊥M的单位正交基, 并且平均曲率向量ξ平行于单位法向量en+1。设L1, L2, …, Lk是TxM中的一组相互正交的线性子空间, dim(Lj)=nj, j=1, …, k, 且

$ {L_j} = {\rm{span}}\left\{ {{e_{{n_1} + \cdots + {n_{j-1}} + 1}}, \cdots, {e_{{n_1} + \cdots + {n_j}}}} \right\}。 $

由Gauss方程和式(11)可以得到

$ \tau \lef( {{L_j}} \right) = \frac{{{n_j}\lef( {{n_j} - 1} \right)}}{2}c - \sum\limits_a {\sum\limits_{{p_j} < {q_j}} {\left[ {h_{{p_j}{q_j}}^\alpha h_{{q_j}{q_j}}^\alpha - {{\lef( {h_{{p_j}{q_j}}^\alpha } \right)}^2}} \right]} } , $ (20)
$ 2\tau = \sum\limits_{i \ne j} {{R_{ijij}} = n\lef( {n - 1} \right)c} + \sigma - {n^2}{H^2}。 $ (21)



$ \eta = n\lef( {n - 1} \right)c - 2\tau - 2c\lef( {{n_1}, \cdots ,{n_k}} \right){H^2}, $ (22)

结合(21)和(22)有

$ \gamma \lef( {\eta + \sigma } \right) = {n^2}{H^2}, $ (23)

其中

$ \gamma = n + k - \sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}} 。 $ (24)

由于$ {n^2}{H^2} = {\lef( {\sum\limits_i {h_{ii}^{n + 1}} } \right)^2} $, $ \sigma = \sum\limits_\alpha {\sum\limits_{i, j} {{{\lef( {h_{ij}^\alpha } \right)}^2}} } $, 则式(23)也可表述为

$ {\lef( {\sum\limits_i {h_{ii}^{n + 1}} } \right)^2} = \gamma \left[ {\sum\limits_i {{{\lef( {h_{ij}^{n + 1}} \right)}^2}} + \sum\limits_{i \ne j} {{{\lef( {h_{ij}^{n + 1}} \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha = n + 2}^{n + m} {\sum\limits_{i,j} {{{\lef( {h_{ij}^\alpha } \right)}^2}} + \eta } } \right]。 $ (25)

令ai=hiin+1, i=1, …, n, 那么上式可以转化为

$ {\lef( {\sum\limits_i {{a_i}} } \right)^2} = \gamma \left[ {\sum\limits_i {a_i^2} + \sum\limits_{i \ne j} {{{\lef( {h_{ij}^{n + 1}} \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha = n + 2}^{n + m} {\sum\limits_{i,j} {{{\lef( {h_{ij}^\alpha } \right)}^2}} + \eta } } \right]。 $ (26)

又令

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{b_1} = {a_1}, }\\ {{b_2} = {a_2} + \cdots + {a_{{n_1}}}, }\\ {{b_3} = {a_{{n_1} + 1}} + \cdots + {a_{{n_1} + {n_2}}}, }\\ \cdots \\ {{b_{k + 1}} = {a_{{n_1} + \cdots + {n_{k-1}} + 1}} + \cdots + {a_{{n_1} + \cdots + {n_k} + 1}}, }\\ {{b_{k + 2}} = {a_{{n_1} + \cdots + {n_k} + 1}}, }\\ \cdots \\ {{b_{\gamma + 1}} = {a_n}。} \end{array} $

那么(26)又可以改写为

$ {\lef( {\sum\limits_{i = 1}^{\gamma + 1} {{b_i}} } \right)^2} =\\ \gamma \left[{\eta + \sum\limits_{i = 1}^{\gamma + 1} {b_i^2} + \sum\limits_{i \ne j} {{{\lef( {h_{ij}^{n + 1}} \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha = n + 2}^{n + m} {\sum\limits_{i, j} {{{\lef( {h_{ij}^\alpha } \right)}^2}} }-2\sum\limits_{{p_1} < {q_1}} {{a_{{p_1}}}{a_{{q_1}}}}-\cdots-2\sum\limits_{{p_k}{q_k}} {{a_{{p_k}}}{a_{{q_k}}}} } \right]。 $

这里2≤p1, q1≤n1, n1+1≤p2, q2≤n1+n2, …, n1+…+nk-1+1≤pk, qk≤n1+…+nk。

对上式应用引理1, 有

$ \sum\limits_{j = 1}^k {\sum\limits_{{p_j} < {q_j}} {{a_{{p_j}}}{a_{{q_j}}}} } \ge \frac{1}{2}\left[ {\eta + \sum\limits_{i \ne j} {{{\lef( {h_{ij}^{n + 1}} \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha = n + 2}^{n + m} {\sum\limits_{i,j} {{{\lef( {h_{ij}^\alpha } \right)}^2}} } } \right], $ (27)

也即

$ \sum\limits_{j = 1}^k {\sum\limits_{{p_j} < {q_j}} {\sum\limits_\alpha {\left[ {h_{{p_j}{p_j}}^\alpha h_{{q_j}{q_j}}^\alpha - {{\lef( {h_{{p_j}{q_j}}^\alpha } \right)}^2}} \right]} } } \ge \frac{\eta }{2} + \frac{1}{2}\sum\limits_\alpha {\sum\limits_{\lef( {p,q} \right) \notin {\Delta ^2}} {{{\lef( {h_{pq}^\alpha } \right)}^2}} } \\+ \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha = n + 2}^{n + m} {\sum\limits_{{p_j} \in {\Delta _j}} {{{\lef( {h_{{p_j}{p_j}}^\alpha } \right)}^2}} } \ge \frac{\eta }{2}。 $ (28)

这里Δj={(n1+…+nk-1)+1, …, n1+…+nk}, j=1, …, k, Δ2=(Δ1×Δ1)∪…∪(Δk×Δk)。

将(20)代入(28)中, 得到

$ \sum\limits_{j = 1}^k {\tau \lef( {{L_j}} \right)} \le \sum\limits_{j = 1}^k {\frac{{{n_j}\lef( {{n_j} - 1} \right)}}{2}c} - \frac{\eta }{2}, $ (29)

结合式(3)可以得到不等式(4)成立。

最后不等式(4)等号成立当且仅当(27)和(28)中等号成立。由引理1, (27)式中等号成立当且仅当

$ {a_1} + \cdots + {a_{{n_1}}} = \cdots = {a_{{n_1} + \cdots + {n_{k-1}} + 1}} + \cdots + {a_{{n_1} + \cdots + {n_k}}} = {a_{{n_1} + \cdots + {n_{k + 1}}}} = \cdots = {a_n}; $

不等式(28)中等号成立当且仅当形状算子为

$ {\boldsymbol{A}_\alpha } = \lef( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{A}_1^\alpha }& \cdots &0&0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& \cdots &{\boldsymbol{A}_k^\alpha }&0\\ 0& \cdots &0&{{\mu _\alpha }\boldsymbol{I}} \end{array}} \right), \alpha = n + 2, \cdots, n + m。 $

其中Ajα是nj阶对称矩阵并且tr(A1α)=…=tr(Akα)=μα, μα是M上的函数。

5 两个例子

我们将列举伪黎曼空间形式Npn+p(c)中满足不等式(4)的子流形的一些例子。

例1设Mn是N1n+1(c)的类空全脐超曲面, 由文献[11]中引理35可知, Mn的截面曲率为

$ {R_{ijij}} = c-{H^2}, $

直接计算有

$ \delta \lef( {{n_1}, \cdots, {n_k}} \right)- d\lef( {{n_1}, \cdots, {n_k}} \right)c + c\lef( {{n_1}, \cdots, {n_k}} \right){H^2} \\=- {H^2}\left[{d\lef( {{n_1}, \cdots, {n_k}} \right)-c\lef( {{n_1}, \cdots, {n_k}} \right)} \right]。 $

由于$ \sum\limits_{j-1}^k {{n_j}} \le n, k \ge 1, $因此

$ d\lef( {{n_1}, \cdots, {n_k}} \right)-c\lef( {{n_1}, \cdots, {n_k}} \right) = \frac{{n\lef( {n-1} \right)-\sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}\lef( {{n_j} - 1} \right)} }}{2} - \frac{{{n^2}\lef( {n + k - 1 - \sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}} } \right)}}{{2\lef( {n + k - \sum\limits_{j = 1}^k {{n_j}} } \right)}} \le {n^2}\lef( {1 - k} \right) \le 0。 $

其中等号成立当且仅当k=1, n1=n。