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局部对称伪黎曼流形中的2-调和类时子流形研究

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-04局部对称伪黎曼流形中的2-调和类时子流形研究论文作者:何超 李影 宋卫东,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 局部对称 伪黎曼流形 2-调和类时子流形 极大类时 积分不等式
摘要: 利用活动标架法, 研究了局部对称伪黎曼流形中的2-调和类时子流形, 得到了这类子流形的Simons型积分不等式以及关于其第二基本形式模长平方的拼挤定理。

0 引言

按照文献[1]中的设想, 欧阳崇珍在文献[2]中讨论了黎曼流形M到伪黎曼流形N的2-调和等距浸入, 得到了这种等距浸入是2-调和映照的充要条件及伪黎曼空间型的2-调和类空子流形的Pinching现象。文献[3-4]分别讨论了局部对称伪黎曼流形中的2调和类空子流形和紧致极大类时子流形, 得到了Simons型积分不等式和一些刚性定理。研究伪黎曼流形的类时子流形比研究其类空子流形更有意义。根据文献[2], 显然N中的2-调和子流形是极大类空子流形的推广。而de Sitter空间(即Npn+p的截面曲率为常数c > 0)中, 极大类空子流形一定是全测地的[5], 但其极大类时子流形未必是全测地的[6]。本文限定目标流形为局部对称伪黎曼流形, 参照文献[4-5]考虑Npn+p中的2-调和类时子流形, 得到了相关的积分不等式和极大子流形的条件。具体结果如下:

定理1设Npn+p是n+p维局部对称伪黎曼流形, 其截面曲率KN满足0 < δ≤KN≤1, 又Mn是Npn+p中紧致的n维2-调和类时子流形, 则有如下的积分不等式成立:

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\int_{{M^n}} {\left\{ {\frac{1}{p}{S^2}- \left[{\frac{4}{3}\lef( {1-\delta } \right)\lef( {p-1} \right){{\lef( {n-1} \right)}^{\frac{1}{2}}} + n} \right]S -\frac{1}{2}\lef( {1 -\delta } \right)p{n^3}{H^2} -} \right.} }\\ {{{\left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} n\left| H \right|{S^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}\lef( {1 - \delta } \right){n^2}{p^{\frac{1}{2}}}{S^{\frac{1}{2}}}\left| H \right| - \frac{1}{8}p{n^4}{{\lef( {1 - \delta } \right)}^2} - \frac{3}{4}\Delta \lef( {{n^2}{H^2}} \right)} \right\}}^*}1 \le 0。} \end{array} $

其中H为Mn的平均曲率, 当δ=1, S=0, H=0时等号成立, 即Mn是n+p维局部对称伪黎曼空间型Npn+p的n维极大类时子流形且是全测地的。

推论设Npn+p是n+p维局部对称伪黎曼空间型, 即δ=1, Mn是Npn+p中的n维极大类时子流形, 即H=0, 则由定理1可得:当S > np时, Mn一定是Npn+p中的全测地子流形。

定理2设Npn+p是n+p维局部对称伪黎曼流形, 其截面曲率KN满足0 < δ≤KN≤1, 又Mn是Npn+p中的n维具有平行平均曲率向量的2-调和类时子流形, 如果Mn的第二基本形式模长的平方S满足

$ S < n\delta, $

则Mn是Npn+p中的极大类时子流形。

1 预备知识

本文约定各类指标取值范围如下:

$ 1 \le A,B,C, \cdots \le n + p;1 \le i,j,k, \cdots \le n;n + 1 \le \alpha ,\beta ,\gamma , \cdots , \le n + p。 $

以Npn+p表示其截面曲率KN满足0 < δ≤KN≤1的指标为p的n+p维完备连通伪黎曼流形, Mn是等距浸入到Npn+p中的n维类时子流形。选取Npn+p上的局部伪黎曼正交标架场{eA}, 使得限制到Mn上时, {ei}和Mn相切。又设{ωA}为其对偶标架场, 则Npn+p的伪黎曼度量为

$ {\rm{d}}{S^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varepsilon _i}\omega _i^2} + \sum\limits_{\alpha = n + 1}^{n + p} {{\varepsilon _\alpha }\omega _\alpha ^2}。 $

Npn+p的伪黎曼度量诱导Mn的度量为

$ {\rm{d}}{S^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varepsilon _i}\omega _i^2}。 $

这里εi=-1, εα=1。

设{ωAB}是Npn+p的联络1-形式, 限制在Mn上, 根据文献[5], 有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _{i\alpha }} = \sum\limits_j {{\varepsilon _i}h_{ij}^\alpha } {\omega _j},h_{ji}^\alpha = h_{ji}^\alpha ,}\\ {h = \sum\limits_{\alpha ,i,j} {{\varepsilon _i}{\varepsilon _j}{\varepsilon _\alpha }h_{ij}^\alpha {\omega ^i}} \otimes {\omega ^j} \otimes {e_\alpha },\xi = \frac{1}{n}\sum\limits_\alpha {\sum\limits_i {h_{ii}^\alpha {e_\alpha },} } }\\ {{R_{ijkl}} = {K_{ijkl}} + \sum\limits_\alpha {{\varepsilon _\alpha }\lef( {h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha - h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha } \right),} } \end{array} $ (1)
$ {R_{\alpha \beta kl}} = {K_{\alpha \beta kl}} + \sum\limits_i {{\varepsilon _i}\lef( {h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha - h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha } \right),} $ (2)

其中h, ξ, Rijkl, Rαβkl及KABCD分别是Mn的第二基本形式, 平均曲率向量, 曲率张量, 法曲率张量及Npn+p的曲率张量。定义

$ S = {\left\| h \right\|^2}, H = \left\| \xi \right\|, {\boldsymbol{H}_\alpha } = {\lef( {h_{ij}^\alpha } \right)_{n \times n}}, $

若H=0, 则称Mn为极大的。

根据文献[5-6], 定义hijα的一阶共变导数hijkα和二阶共变导数hijklα如下:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {-\sum\limits_k {h_{ijk}^\alpha {\omega _k} = {\rm{d}}h_{ij}^\alpha }-\sum\limits_k {h_{kj}^\alpha } {\omega _{ki}}-\sum\limits_k {h_{kj}^\alpha } {\omega _{ki}} + \sum\limits_\beta {h_{ij}^\beta } {\omega _{\beta \alpha }}, }\\ { - \sum\limits_l {h_{ijkl}^\alpha } {\omega _l} = {\rm{d}}h_{ijk}^\alpha - \sum\limits_l {h_{ljk}^\alpha } {\omega _{li}} - \sum\limits_l {h_{ilk}^\alpha } {\omega _{lj}} - \sum\limits_l {h_{ijl}^\alpha } {\omega _{lk}} + \sum\limits_\beta {h_{ijk}^\beta } {\omega _{\beta \alpha }}。} \end{array} $

则有

$ h_{ijk}^\alpha - h_{ikj}^\alpha = - {K_{\alpha ijk}}, $ (3)
$ h_{ijkl}^\alpha - h_{ijlk}^\alpha = - \sum\limits_m {\lef( {h_{mj}^\alpha {R_{mikl}} + h_{mi}^\alpha {R_{mjkl}}} \right)} - \sum\limits_\beta {h_{ij}^\beta {R_{\alpha \beta kl}}}。 $ (4)

类似地, 曲率张量场Kαijk的共变导数Kαijk, l定义为

$ - \sum\limits_l {{K_{\alpha ijk,l}}{\omega _l}} = {\rm{d}}{K_{\alpha ijk}} - \sum\limits_m {{K_{mijk}}{\omega _{m\alpha }}} + \sum\limits_\beta {{K_{\alpha \beta jk}}{\omega _{\beta j}}} + \sum\limits_\beta {{K_{\alpha i\beta k}}{\omega _{\beta j}}} + \sum\limits_\beta {{K_{\alpha ij\beta }}{\omega _{\beta k}},} $

限制到Mn上时, 有

$ - {K_{\alpha ijk,l}} = {K_{\alpha ijkl}} + \sum\limits_m {{K_{mijk}}h_{ml}^\alpha } + \sum\limits_\beta {{K_{\alpha \beta jk}}h_{jl}^\beta } + \sum\limits_\beta {{K_{\alpha i\beta k}}h_{jl}^\beta } + \sum\limits_\beta {{K_{\alpha ij\beta }}} h_{kl}^\beta 。 $ (5)

若KABCD, E=0, 则称Npn+p为局部对称。

引理1[2] Mn是Npn+p中2-调和类时子流形的充要条件是

$ \sum\limits_{\alpha ,j,k} {\lef( {2h_{jjk}^\alpha h_{ik}^\alpha + h_{jj}^\alpha h_{ikk}^\alpha - h_{jj}^\alpha {K_{\alpha kki}}} \right) = 0,{\forall _i}} , $ (6)
$ \sum\limits_{j,k} {h_{jjkk}^{^a}} - \sum\limits_{\beta ,j,k,m} {h_{jj}^\beta h_{mk}^\beta h_{mk}^\alpha } + \sum\limits_{\beta ,j,k} {h_{jj}^\beta {K_{\alpha kk\beta }}} = 0,\forall \alpha 。 $ (7)

引理2[7]设Npn+p是n+p维伪黎曼流形, 对x∈M有δ≤KN≤1, 则在x处有

(1)$ \left| {{K_{ABCD}}} \right| \le \frac{1}{2}\lef( {1-\delta } \right), A \ne B; $
(2)$ \left| {{K_{ABCD}}} \right| \le \frac{2}{3}\lef( {1-\delta } \right) $, A, B, C, D互不相同。

2 定理的证明

下面总假设Mn为Npn+p中的2-调和类时子流形, Npn+p为局部对称伪黎曼流形。

定理1的证明由式(3)、(4), 可得hijα的Laplacian为

$ \Delta h_{ij}^\alpha = \sum\limits_k {h_{ijkk}^\alpha } = \sum\limits_k {h_{kkij}^\alpha } - \sum\limits_k {\lef( {{K_{\alpha kikj}} + {K_{\alpha ijkk}}} \right) - \sum\limits_{m,k} {\lef( {h_{mk}^\alpha {R_{mijk}} + h_{mi}^\alpha {R_{mkjk}}} \right)} } \\- \sum\limits_{k,\beta } {h_{ki}^\beta {R_{\alpha \beta jk}}}。 $ (8)

再由式(1)、(2)、(5)、(8)得:

$ .\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}\Delta S = \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {{{\lef( {h_{ijk}^\alpha } \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha ,i,j} {h_{ij}^\alpha \Delta h_{ij}^\alpha } = \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {{{\lef( {h_{ijk}^\alpha } \right)}^2}} \\+ \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {\lef( {2{K_{\alpha \beta ik}}h_{ij}^\beta + {K_{\alpha k\beta k}}h_{ij}^\alpha h_{ij}^\beta + {K_{\alpha ij\beta }}h_{ij}^\beta h_{kk}^\beta } \right)} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{ij}^\alpha h_{kkij}^\alpha } + 2\sum\limits_{\alpha ,\beta } {\left[ {{\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2\boldsymbol{H}_\beta ^2} \right) - {\rm{tr}}{{\lef( {{\boldsymbol{H}_\alpha }{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)}^2}} \right]} + {{\sum\limits_{\alpha ,\beta } {\left[ {{\rm{tr}}\lef( {{\boldsymbol{H}_\alpha }{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} \right]} }^2} - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta }。} \end{array} $ (9)

下面估计式(9)中的各项。因为(tr(HαHβ))p×p是实对称矩阵, 因此可选取法标架场{eα}使之对角化, 即

$ \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{{\left[ {{\rm{tr}}\lef( {{{\bf{H}}_\alpha }{{\bf{H}}_\beta }} \right)} \right]}^2} = \sum\limits_\alpha {{{\lef( {{\rm{tr}}{\bf{H}}_\alpha ^2} \right)}^2}} } \ge \frac{1}{p}{S^2}, $ (10)
$ \left| {\sum\limits_{\alpha, \beta, i, j, k} {{K_{\alpha k\beta k}}h_{ij}^\alpha h_{ij}^\beta } } \right| = \left| {\sum\limits_{\alpha k} {{K_{\alpha k\alpha k}}} {\rm{tr}}\boldsymbol{H}_\alpha ^2} \right| \le n\sum\limits_\alpha {{\rm{tr}}\boldsymbol{H}_\alpha ^2} = nS, $

从而有

$ \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {{K_{\alpha k\beta k}}h_{ij}^\alpha h_{ij}^\beta } \ge - nS。 $ (11)

另外, 对于固定的α, 令

$ h_{ij}^\alpha = \lambda _i^\alpha {\delta _{ij}},1 \le i,j \le n。 $ (12)

由引理2可得

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{\beta ,i,j,k} {2{K_{\alpha \beta ik}}h_{ij}^\alpha } h_{jk}^\beta = 2\sum\limits_{\beta ,i,k} {2{K_{\alpha \beta ik}}\lambda _i^\alpha } h_{ki}^\beta \ge 2\sum\limits_{i \ne k,\beta \lef( { \ne \alpha } \right)} { - \frac{2}{3}\lef( {1 - \delta } \right)\left| {\lambda _i^\alpha } \right|\left| {h_{ki}^\beta } \right| \ge } }\\ {{\kern 1pt} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 2\sum\limits_{i \ne k,\beta \lef( { \ne \alpha } \right)} {\frac{1}{3}\lef( {1 - \delta } \right)} \left[ {{{\lef( {n - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\lef( {h_{ik}^\beta } \right)}^2} + {{\lef( {n - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\lef( {\lambda _i^\alpha } \right)}^2}} \right] \ge }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{2}{3}\lef( {1 - \delta } \right){{\lef( {n - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}\sum\limits_{\beta \lef( { \ne \alpha } \right)} {{\rm{tr}}\boldsymbol{H}_\beta ^2 - \frac{2}{3}\lef( {1 - \delta } \right)\lef( {p - 1} \right){{\lef( {n - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}{\rm{tr}}\boldsymbol{H}_\alpha ^2,} } \end{array} $

从而

$ \sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {2{K_{\alpha \beta ik}}h_{ij}^\alpha h_{ij}^\beta } \ge - \frac{4}{3}\lef( {1 - \delta } \right)\lef( {p - 1} \right){\lef( {n - 1} \right)^{\frac{1}{2}}}S。 $ (13)

为了估计$ \sum\limits_{\alpha, \beta, i, j, k} {{K_{\alpha ij\beta }}h_{ij}^\alpha } h_{kk}^\beta $, 选取en+p与ξ的方向重合, 则

$ {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\alpha } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,}&{\alpha \ne n + p,}\\ {nH,}&{\alpha = n + p \circ } \end{array}} \right. $

因此,由引理2,有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {{K_{\alpha ij\beta }}h_{ij}^\alpha h_{kk}^\beta } = nH\sum\limits_{\alpha ,i,j} {{K_{\alpha ijn + p}}h_{ij}^\alpha } \ge - \frac{2}{3}\lef( {1 - \delta } \right)n\left| H \right|\sum\limits_{\alpha ,i,j} {\left| {h_{ij}^\alpha } \right|} \ge }\\ { - \frac{2}{3}\lef( {1 - \delta } \right)\left| H \right|{n^2}{p^{\frac{1}{2}}}{S^{\frac{1}{2}}},} \end{array} $ (14)

显然有

$ {\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2\boldsymbol{H}_\beta ^2} \right) - {\rm{tr}}{\lef( {{\boldsymbol{H}_\alpha }{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)^2} \ge 0。 $ (15)



$ \sum\limits_{\alpha, \beta } {{\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2{\boldsymbol{H}_\beta }} \right){\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta }} \le \sum\limits_{\alpha, \beta } {\left| {{\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} \right|\left| {{\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta }} \right|} \le \sqrt {\sum\limits_\beta {{{\lef( {\sum\limits_\alpha {{\rm{tr}}} \lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} \right)}^2}} \cdot \sum\limits_\beta {{{\lef( {{\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)}^2}} }, $

由式(12), 有

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2{\boldsymbol{H}_\beta }} \right) = \sum\limits_i {{{\lef( {\lambda _i^\alpha } \right)}^2}} h_{ii}^\beta \le \sqrt {\sum\limits_i {{{\lef( {\lambda _i^\alpha } \right)}^2}} \cdot \sum\limits_j {{{\lef( {\lambda _j^\alpha } \right)}^2}} {{\lef( {h_{jj}^\beta } \right)}^2}} \le }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sqrt {\sum\limits_i {{{\lef( {\lambda _i^\alpha } \right)}^2}} \cdot \sum\limits_j {{{\lef( {\lambda _j^\alpha } \right)}^2}} \sum\limits_j {{{\lef( {h_{jj}^\beta } \right)}^2}} } = {\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2} \right)\sqrt {{\rm{tr}}\boldsymbol{H}_\beta ^2}, } \end{array} $

代入上式,得

$ \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{\rm{tr}}\lef( {\boldsymbol{H}_\alpha ^2{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta } \le \sqrt {\sum\limits_\beta {{{\lef( {\sum\limits_\alpha {\lef( {{\rm{tr}}\boldsymbol{H}_\alpha ^2} \right) \cdot \sqrt {{\rm{tr}}\boldsymbol{H}_\beta ^2} } } \right)}^2} \cdot \sum\limits_\beta {{{\lef( {{\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)}^2}} } } = n\left| H \right|{S^{\frac{3}{2}}}。 $ (16)

最后,利用引理1及式(3),将式(6)改写为

$ \sum\limits_{\alpha, j, k} {\lef( {2h_{jjk}^\alpha h_{ik}^\alpha + h_{jj}^\alpha h_{kki}^\alpha } \right)} = 0。 $

将此式两端关于指标i求共变导数,并关于i求和,得

$ \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {\lef( {2h_{jjki}^\alpha h_{ik}^\alpha + 3h_{jjk}^\alpha h_{iik}^\alpha + h_{jj}^\alpha h_{kkii}^\alpha - 2h_{jji}^\alpha {K_{\alpha kik}}} \right)} = 0。 $ (17)

调整指标,结合式(7), 可得

$ \begin{array}{l} \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{kkij}^\alpha h_{ij}^\alpha = - \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {\lef( {3h_{jjk}^\alpha h_{iik}^\alpha + h_{ii}^\alpha h_{jjkk}^\alpha } \right)} + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{jji}^\alpha {K_{\alpha kik}} = } } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{3}{2}\sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {\lef( {h_{jjk}^\alpha h_{iik}^\alpha + h_{ii}^\alpha h_{jjkk}^\alpha } \right) + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{ii}^\alpha h_{jjkk}^\alpha + } } \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{jji}^\alpha {K_{\alpha kik}} = } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{3}{4}\Delta \lef( {{n^2}{H^2}} \right) + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{ii}^\alpha h_{jjkk}^\alpha + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{jji}^\alpha {K_{\alpha kik}} = } } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{3}{4}\Delta \lef( {{n^2}{H^2}} \right) + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{jji}^\alpha {K_{\alpha kik}} + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{jj}^\alpha h_{jj}^\beta {K_{\alpha k\beta k}} + } } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{\alpha ,\beta } {{\rm{tr}}\lef( {{\boldsymbol{H}_\alpha }{\boldsymbol{H}_\beta }} \right) \cdot {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\alpha } \cdot {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta }}。 \end{array} $ (18)

下面估计$ \sum\limits_{\alpha, \beta } {{\rm{tr}}\lef( {{\boldsymbol{H}_\alpha }{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} \cdot {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\alpha } \cdot {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta } $:

$ \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{\rm{tr}}\lef( {{\boldsymbol{H}_\alpha }{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} \cdot {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\alpha } \cdot {\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta } = \sum\limits_{k,q} {{{\lef( {\sum\limits_\beta {\lef( {\sum\limits_j {h_{jj}^\alpha } } \right)h_{qk}^\beta } } \right)}^2}} \ge 0。 $ (19)

由引理2及Cauchy不等式,得

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {{{\lef( {h_{ijk}^\alpha } \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{jji}^\alpha {K_{\alpha kik}}} = \sum\limits_{\alpha ,i,j,k\lef( {i \ne j} \right)} {{{\lef( {h_{ijk}^\alpha } \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha ,j,k} {{{\lef( {h_{jjk}^\alpha } \right)}^2}} + \sum\limits_{\alpha ,i,j,k} {h_{jjk}^\alpha {K_{\alpha iki}}} \ge }\\ {{\kern 1pt} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{\alpha ,j,k} {{{\lef( {h_{jjk}^\alpha } \right)}^2}} - \sum\limits_{\alpha ,j,k} {\left| {h_{jjk}^\alpha } \right| \cdot \left| {\sum\limits_i {{K_{\alpha iki}}} } \right|} \ge }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\kern 1pt} \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,j,k} {{{\lef( {h_{jjk}^\alpha } \right)}^2}} - \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,j,k} {{{\lef( {\sum\limits_i {{K_{\alpha iki}}} } \right)}^2}} \ge }\\ {{\kern 1pt} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{n}{2}\sum\limits_{\alpha ,j,k} {\lef( {\sum\limits_i {K_{\alpha iki}^2} } \right) \ge - \frac{1}{8}p{n^4}{{\lef( {1 - \delta } \right)}^2}。} } \end{array} $ (20)
$ \begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{\alpha ,\beta ,i,j,k} {h_{ii}^\alpha h_{jj}^\beta {K_{\alpha k\beta k}}} \ge - \sqrt {\sum\limits_{\alpha ,\beta } {{{\left[ {\lef( {{\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\alpha }} \right)\lef( {{\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\beta }} \right)} \right]}^2}} \cdot \sum\limits_{\alpha ,\beta } {{{\lef( {\sum\limits_k {{K_{\alpha k\beta k}}} } \right)}^2}} } \ge }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} - \frac{1}{2}n\lef( {1 - \delta } \right)\sum\limits_\alpha {{{\lef( {{\rm{tr}}{\boldsymbol{H}_\alpha }} \right)}^2}} \ge - \frac{1}{2}{n^3}{H^2}p\lef( {1 - \delta } \right)。} \end{array} $ (21)

从而由式(9)~(21), 有

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}\Delta S \ge \frac{1}{p}{S^2} - \left[ {\frac{4}{3}\lef( {1 - \delta } \right)\lef( {p - 1} \right){{\lef( {n - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}} + n} \right]S - \frac{1}{2}\lef( {1 - \delta } \right)p{n^3}{H^2} - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} n\left| H \right|{S^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}\lef( {1 - \delta } \right){n^2}{p^{\frac{1}{2}}}{S^{\frac{1}{2}}}\left| H \right| - \frac{1}{8}p{n^4}{{\lef( {1 - \delta } \right)}^2} - \frac{3}{4}\Delta \lef( {{n^2}{H^2}} \right)。} \end{array} $ (22)

由于Mn是紧致无边的,根据Stokes定理,将式(22)两端积分,即可得定理1的积分不等式。