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一类具强耦合源的退化抛物方程组的Cauchy问题

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-04一类具强耦合源的退化抛物方程组的Cauchy问题论文作者:宋萌萌 尚海锋,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 抛物方程组 Cauchy问题 耦合非线性源 测度初值
摘要: 研究了一类具强耦合源的退化抛物方程组的Cauchy问题, 其中初值为Radon测度。当指标满足一定范围时, 克服了方程退化性与强耦合源同时存在带来的困难, 从而得到了解的存在性。还进一步证明了指标的限制范围对解的存在性来说是最优的。

1 引言与结论

考虑如下抛物方程组

$ {u_t} - \Delta {u^{{m_1}}} = {u^{{\alpha _1}}}{v^{{\beta _1}}},\lef( {x,t} \right) \in {S_T} = {{\rm{\boldsymbol{R}}}^N} \times \lef( {0,T} \right), $ (1.1)
$ {v_t} - \Delta {u^{{m_2}}} = {u^{{\alpha _2}}}{v^{{\beta _2}}},\lef( {x,t} \right) \in {S_T} = {{\rm{\boldsymbol{R}}}^N} \times \lef( {0,T} \right), $ (1.2)
$ u\lef( {x,0} \right) = \mu ,v\lef( {x,0} \right) = v,x \in {{\rm{\boldsymbol{R}}}^N} $ (1.3)

的非负解,其中m1, m2≥1, α1, β2>1, α2, β1≥0, N≥1, T>0, 且μ, ν是非负Radon测度。模型(1.1)~(1.2)来源于自然界广泛存在的扩散现象、渗流理论、力学、物理学及生物群体动力学等领域[1-5]。。

对于单个方程, 即β1=0且α2=0时, 众多学者对测度初值解的存在性进行了研究[6-11]。文献[10]研究了具强非线性源的多孔介质方程Cauchy问题解的存在性;当$ \frac{{N\lef( {{\alpha _1}{\rm{-}}1} \right)}}{{2 + N\lef( {{m_1}-1} \right)}} < 1 $时, 证明了测度初值解的存在性; 当$ \frac{{N\lef( {{\alpha _1}{\rm{-}}1} \right)}}{{2 + N\lef( {{m_1}-1} \right)}} > 1 $时, 虽然得到了解的存在性, 但是要求初值要具有较高的正则性。一个自然的问题是, 对于情形$ \frac{{N\lef( {{\alpha _1}{\rm{-}}1} \right)}}{{2 + N\lef( {{m_1}-1} \right)}} > 1 $, 测度初值解是否存在?文献[11]中克服了方程退化性与强非线性源同时存在带来的困难, 对此情形得到了测度初值解的最优存在性。

对于方程组的情形, 当初始值具有较高的正则性时, 问题(1.1)~(1.3)解的存在性与非存在性等问题已被广泛地研究[12-16]。特别地, 在文献[16]中, 若假设

$ \frac{{N\lef( {{\alpha _1}{\rm{-}}1} \right)}}{{2 + N\lef( {{m_1}-1} \right)}} + \frac{{N{\beta _1}}}{{2 + N\lef( {{m_2}-1} \right)}} < 1, \frac{{N\lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{2 + N\lef( {{m_2} - 1} \right)}} + \frac{{N{\alpha _2}}}{{2 + N\lef( {{m_1} - 1} \right)}} < 1, $

成立, 则对Radon测度初值可得到解的存在性。然而, 若此假设不成立, 为了得到解的存在性, 必须对初值强加更高的正则性。

本文研究问题(1.1)~(1.3)测度初值解的存在性, 利用文献[11]中的方法, 我们克服了方程组的退化性和强非线性耦合源同时存在给问题研究带来的困难, 得到了测度初值解的最优存在性。特别地, 把文献[16]中的指标范围推广到了

$ \frac{{\theta \lef( {{\alpha _1}{\rm{-}}1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_1}-1} \right)}} + \frac{{\theta {\beta _1}}}{{2 + \theta \lef( {{m_2}-1} \right)}} < 1, \frac{{\theta {\alpha _2}}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}} + \frac{{\theta \lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}} < 1, $

其中0≤θ≤N, 并证明了这一条件对测度初值解的存在性来说是最优的。

定义1.1定义在ST上的非负可测函数(u(x, t), v(x, t))被称作是问题(1.1)~(1.3)的弱解, 如果对任意的具光滑边界$ \partial \Omega $的有界开集ω, 有

$ u,v \in {C_{{\rm{loc}}}}\lef( {0,T;{L^1}\lef( \Omega \right)} \right) \cap L_{{\rm{loc}}}^\infty \lef( {{S_T}} \right),{u^{{m_1}}},{v^{{m_2}}} \in L_{{\rm{loc}}}^2\lef( {0,T;{W^{1,2}}\lef( \Omega \right)} \right), $



$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_\Omega {u\lef( {x,t} \right)\varphi \lef( {x,t} \right){\rm{d}}x + \int_0^t {\int_\Omega {\left[ { - u{\varphi _\tau } + D{u^{{m_1}}}D\varphi } \right]} {\rm{d}}x{\rm{d}}\tau = } } }\\ {\int_\Omega {u\lef( {x,s} \right)\varphi \lef( {x,s} \right){\rm{d}}x} + \int_s^t {\int_\Omega {{u^{{\alpha _1}}}{v^{{\beta _1}}}\varphi {\rm{d}}x{\rm{d}}\tau ,} } } \end{array} $ (1.4)
$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_\Omega {v\lef( {x,t} \right)\varphi \lef( {x,t} \right){\rm{d}}x + \int_0^t {\int_\Omega {\left[ { - v{\varphi _\tau } + D{v^{{m_1}}}D\varphi } \right]} {\rm{d}}x{\rm{d}}\tau = } } }\\ {\int_\Omega {v\lef( {x,s} \right)\varphi \lef( {x,s} \right){\rm{d}}x} + \int_s^t {\int_\Omega {{u^{{\alpha _1}}}{v^{{\beta _1}}}\varphi {\rm{d}}x{\rm{d}}\tau ,} } } \end{array} $ (1.5)

对任意的0 < s < t < T和φ∈Wloc1, 2(0, T; W01, 2(ω))成立。此外,

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {u\lef( {x,t} \right)\eta \lef( x \right){\rm{d}}x{\rm{ = }}} \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {\eta {\rm{d}}\mu {\rm{,}}} \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {v\lef( {x,t} \right)\eta \lef( x \right){\rm{d}}x{\rm{ = }}} \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {\eta {\rm{d}}v{\rm{,}}} \forall \eta \in C_0^1\lef( {{\boldsymbol{R}^N}} \right)。 $ (1.6)

如果定义(1.1)~(1.2)的弱下解(相应地, 弱上解), 只需把(1.4)~(1.5)中的“=”替换为“≤”(相应地, ≥)且取检验函数φ是非负的即可。

设f为RN上的非负Radon测度, 且w∈Lloc∞(ST) w≥0。设0≤θ≤N给定。令

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ f \right] = \mathop {\sup }\limits_{x \in {{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}} \mathop {\sup }\limits_{0 < \rho < 1} {\rho ^\theta }{ƒ_{{B_\rho }\lef( x \right)}} - {\rm{d}}f,}\\ {{{\left[ w \right]}_t} = \mathop {\sup }\limits_{0 < \tau < t} \mathop {\sup }\limits_{x \in {{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}} \mathop {\sup }\limits_{0 < \rho < 1} {\rho ^\theta }{ƒ_{{B_\rho }\lef( x \right)}} - w\lef( {y,\tau } \right){\rm{d}}y,0 < t < T,} \end{array} $ (1.7)

其中

$ {{\rm{ƒ}}_E}{\rm{d}}f = \frac{1}{{\left| E \right|}}\int_E {{\rm{d}}f, } $, (|E|是E的Lebesgure测度)且Bρ(x)={y||y-x|<ρ}。

定义γ(a1, a2, …, an)为依赖于a1, a2, …, an的正常数。

定理1.1设[μ]和[ν]有限, 且

$ \frac{{\theta \lef( {{\alpha _1}{\rm{ - }}1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}} + \frac{{\theta {\beta _1}}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}} < 1,\frac{{\theta {\alpha _2}}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}} + \frac{{\theta \lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}} < 1, $ (1.8)

则问题(1.1)~(1.3)在RN×(0, T0)上存在解(u, v), 使得对∀0 < t < T0, 有

$ {\left[ u \right]_t} \le \gamma \left[ \mu \right],{\left[ v \right]_t} \le \gamma \left[ v \right], $ (1.9)
$ {\left\| {u\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}} \le \gamma {t^{ - \frac{\theta }{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}}}\left[ \mu \right],{\left\| {v\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}} \le \gamma {t^{ - \frac{\theta }{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}}}}\left[ v \right], $ (1.10)

其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{T_0} = {T_0}\lef( {\left[ \mu \right],\left[ v \right],N,{m_1},{m_2},{\alpha _1},{\alpha _2},{\beta _1},{\beta _2},\theta } \right),}\\ {\gamma = \gamma \lef( {N,{m_1},{m_2},{\alpha _1},{\alpha _2},{\beta _1},{\beta _2},\theta } \right)且{{\left\| {u\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|}_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}} = {{\left\| {u\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|}_{{L^\infty }\lef( {{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}} \right)}}。} \end{array} $

注1.1定理1.1中的T0可定量地给出(参见定理1.1的证明)。特别地, 当θ=N时, 定理1.1的结果与文献[16]中一致。

下面的结果表明了定理1.1中的假设(1.8)对解的存在性来说是最优的。

定理1.2设(u, v)是问题(1.1)~(1.3)定义在RN×(0, T)上的非负解, 且[u]t < ∞, [v]t < ∞, 0 < t < T,

$ \mu \lef( {{B_\rho }\lef( {{x_0}} \right)} \right) \ge \varepsilon {\rho ^{N-\theta }}, v\lef( {{B_\rho }\lef( {{x_0}} \right)} \right) \ge \varepsilon {\rho ^{N-\theta }}, 0 < \rho < \varepsilon \circ $

其中ε>0, x0∈RN给定。设α1 > m1且m2≥m1≥1, 则有

$ \frac{{\theta \lef( {{\alpha _1}{\rm{ - }}1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}} + \frac{{\theta {\beta _1}}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}} \le 1。 $ (1.11)

类似地, 如果α2 > m2且m1≥m2≥1, 则有

$ \frac{{\theta {\alpha _2}}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}} + \frac{{\theta \lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}} \le 1。 $ (1.12)

注1.2在定理1.2中, 如果m1=m2, 则有

$ \frac{{\theta \lef( {{\alpha _1}{\rm{ - }}1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}} + \frac{{\theta {\beta _1}}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}} \le 1,\frac{{\theta {\alpha _2}}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}} + \frac{{\theta \lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}} \le 1。 $ (1.13)

2 定理1.1的证明

对任意的w∈Lloc∞(ST*), w≥0和0 < t < T*, 定义

$ {\left\langle w \right\rangle _t} = \mathop {\sup }\limits_{0 < \tau < t} \mathop {\sup }\limits_{x \in {{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}} {\rho ^\theta }{ƒ_{{B_\rho }\lef( x \right)}} - w\lef( {y,\tau } \right){\rm{d}}y,R\lef( t \right) = \Gamma {t^{\frac{1}{{2 + \theta \lef( {s - 1} \right)}}}}, $ (2.1)

其中w=u, Γ=Γ1, s=m1或w=v, Γ=Γ2, s=m2, 且

$ {\mathit \Gamma _1} = {C_1}{\left[ \mu \right]^{\frac{{{m_1} - 1}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}}},{\mathit \Gamma _2} = {C_2}{\left[ \mu \right]^{\frac{{{m_2} - 1}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}}}}, $ (2.2)

其中C1, C2 > 0依赖于N, m1, m2, α1, α2, β1, β2, θ待定。此外, 因为Γ1和Γ2不依赖于T*, 所以可假设R(T*)≤1。

证明定理1.1的主要工具是下面引理2.1中的L∞-估计和引理2.2中的梯度估计, 其证明方法类似于文献[10-11], 证明略。

引理2.1设(u, v)是问题(1.1)~(1.2)在ST*上的非负连续弱下解。假设0 < T′ < T*,使得

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit \Gamma _1^{ - 2}{t^{\frac{{\theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}}}\left\| {u\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}^{{m_1} - 1} + t\left\| {u\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}^{{\alpha _1} - 1}\left\| {v\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}^{{\beta _1}} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathit \Gamma _2^{ - 2}{t^{\frac{{\theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}}}}\left\| {v\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}^{{m_2} - 1} + t\left\| {u\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}^{{\alpha _2}}\left\| {v\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}^{{\beta _2} - 1} \le 1,\forall 0 < t < T',} \end{array} $ (2.3)



$ {\left\| {w\lef( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{\infty ,{{\rm{\boldsymbol{R}}}^N}}} \le \gamma {t^{ - \frac{\theta }{{2 + \theta \lef( {s - 1} \right)}}}}{\mathit \Gamma ^{\frac{2}{{{k_s}}}\lef( {N - \theta } \right)}}\left\langle w \right\rangle _t^{\frac{2}{{{k_s}}}},\forall 0 < t < T'。 $ (2.4)

其中γ=γ(N, m1, m2, α1, α2, β1, β2, θ), 且w=u, s=m1, κm1=N(m1-1)+2或w=v, s=m2, κm2=N(m2-1)+2。

引理2.2设引理2.1中的条件成立, 则对任意的Bρ(x0)⊂RN, 0 < t < T′和R(t)≤ρ≤1, 有:

(ⅰ)如果s>1, 则有

$ \int_0^t {\int_{{B_{\frac{\rho }{2}}}} {\left| {D{w^s}} \right|} } {\rm{d}}x{\rm{d}}\tau \le \gamma G\lef( t \right){t^{ - \frac{1}{{2 + \theta \lef( {s - 1} \right)}}}}{\mathit \Gamma ^{\frac{{\lef( {N - \theta } \right)\lef( {s - 1} \right)}}{{{k_s}}}}}\left\langle w \right\rangle _t^{\frac{{s - 1}}{{{k_s}}}}, $ (2.5)

其中$ G\lef( t \right) = \mathop {\sup }\limits_{0 < \tau < t} {\left\| {w\lef( { \cdot, \tau } \right)} \right\|_{1, {B_\rho }\lef( {{x_0}} \right)}}, \gamma = \gamma \lef( {N, {m_1}, {m_2}, {\alpha _1}, {\alpha _2}, {\beta _1}, {\beta _2}, \theta } \right) $, 且w=u, s=m1, κm1=N(m1-1)+2或w=v, s=m2, κm2=N(m2-1)+2。

(ⅱ)如果s=1, 则有

$ \int_0^t {\int_{{B_{\frac{\rho }{2}\lef( {{x_0}} \right)}}} {\left| {Dw} \right|} } {\rm{d}}x{\rm{d}}\tau \le \gamma {t^{\frac{1}{2} - h}}{\rho ^{2h}}G\lef( t \right)。 $ (2.6)

其中0 < h < 12, γ=γ(N, m1, m2, α1, α2, β1, β2, θ), 且w=u, s=m1=1或w=v, s=m2=1。

注2.1由(1.7)和(2.1)知, 〈u〉t≤[u]t且〈v〉t≤[v]t。由引理2.1和(2.2)可得

$ {\left[ w \right]_t} \le {\left\langle w \right\rangle _t} + \gamma \lef( C \right){\left[ {{w_0}} \right]^{\frac{{N\lef( {s - 1} \right)}}{{{k_s}}}}}\left\langle w \right\rangle _t^{\frac{2}{{{k_s}}}},\forall 0 < t < T'。 $ (2.7)

其中w=u, s=m1, w0=μ, κm1=N(m1-1)+2或w=v, s=m2, w0=ν, κm2=N(m2-1)+2。

定理1.1的证明。考虑如下逼近问题:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{nt}} - \Delta u_n^{{m_1}} = \min \left\{ {u_n^{{\alpha _1}}v_n^{{\beta _1}},n} \right\},\lef( {x,t} \right) \in {B_n} \times \lef( {0,\infty } \right),}\\ {{v_{nt}} - \Delta u_n^{{m_2}} = \min \left\{ {u_n^{{\alpha _2}}v_n^{{\beta _2}},n} \right\},\lef( {x,t} \right) \in {B_n} \times \lef( {0,\infty } \right),}\\ {{u_n}\lef( {x,t} \right) = {v_n}\lef( {x,t} \right) = 0,\lef( {x,t} \right) \in \partial {B_n} \times \lef( {0,\infty } \right),}\\ {{u_n}\lef( {x,0} \right) = {u_{0n}}\lef( x \right),{v_n}\lef( {x,0} \right) = {v_{0n}}\lef( x \right),x \in {B_n}.} \end{array}} \right. $ (2.8)

其中Bn={x∈RN||x| < n}, u0n, v0n∈C0∞(RN)非负且在Bn中具紧支集, 并满足

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {{u_{0n}}\eta \lef( x \right){\rm{d}}x{\rm{ = }}} \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {\eta \lef( x \right){\rm{d}}\mu {\rm{, }}} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {{v_{0n}}\eta \lef( x \right){\rm{d}}x{\rm{ = }}} \int_{{\boldsymbol{R}^N}} {\eta \lef( x \right){\rm{d}}v{\rm{, }}} \forall \eta \in C_0^\infty \lef( {{\boldsymbol{R}^N}} \right), $



$ \left[{{u_{0n}}} \right] \le \gamma \lef( N \right)\lef( {\left[\mu \right] + 1} \right), \left[{{v_{0n}}} \right] \le \gamma \lef( N \right)\lef( {\left[v \right] + 1} \right) \circ $

由文献[17-19]中的结果可知, 问题(2.8)存在解(un, vn)。此外, (un, vn)有界且Hölder连续。故引理2.1和引理2.2对un成立。

如果能够对(un, vn)得到一致的L∞估计, 即把(1.9)~(1.10)中的u和v分别用un和vn代替后, (1.9)~(1.10)仍成立, 而且其右端的常数不依赖于n, 则由文献[18-19]中的紧性结果可得问题(1.1)~(1.3)的解存在。接下去我们将致力于这一上界的导出。为了简便, 定义(un, vn)在Bn×(0, ∞)外恒等于0, 且在下面的证明中省去下标n。

仅对情形m1 > 1, m2 > 1给出证明, 其它情形可类似证明。定义

$ {t_0} = \sup \left\{ {0 < T' < T*\left| {\lef( {2.3} \right)成立} \right.} \right\}, $

令0 < t < T0。设Bρ⊂RN是以x0为球心, 以ρ为半径的球, 其中R(t)≤ρ≤1且x0∈RN任意给定。在(1.4)中取ζ为检验函数, 其中ζ是Bρ上的光滑截断函数, 满足

$ 0 \le \xi \le 1在{B_\rho }内, \xi = 1在{B_{\frac{\rho }{2}}}内, \left| {D\xi } \right| \le \frac{2}{\rho } \circ $

直接计算可得

$ \int_{{B_{\frac{\rho }{2}}}} {u\lef( {x, t} \right){\rm{d}}x \le \int_{{B_\rho }} {{\rm{d}}\mu {\rm{ + }}\frac{2}{\rho }\int_0^t {\int_{{B_\rho }} {\left| {D{u^{{m_1}}}} \right|{\rm{d}}x{\rm{d}}\tau } } + } } \int_0^t {\int_{{B_\rho }} {{u^{{\alpha _1}}}{u^{{\beta _1}}}{\rm{d}}x{\rm{d}}\tau \circ } } $

在此不等式的两端同乘ρθ|Bρ|-1, 并利用引理2.1和引理2.2可得

$ {\rho ^\theta }\int_{{B_{\frac{\rho }{2}}}} {u\lef( {x, t} \right)} {\rm{d}}x \le {2^N}\left[\mu \right] + \gamma {\left\langle u \right\rangle _1}\left\{ {C_1^{ - \frac{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}{{{k_{{m_1}}}}}}{{\lef( {\frac{{{{\left\langle u \right\rangle }_t}}}{{\left[u \right]}}} \right)}^{\frac{{{m_1} -1}}{{{k_{{m_1}}}}}}} + {M_1}\lef( t \right)} \right\} \circ $

其中$ {M_1}\lef( t \right) = {t^{1-\frac{{\theta {\beta _1}}}{{2 + \theta \lef( {{m_2}-1} \right)}}-\frac{{\theta \lef( {{\alpha _1} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}}}\mathit \Gamma _1^{\frac{{2\lef( {N - \theta } \right)\lef( {{\alpha _1} - 1} \right)}}{{{k_{{m_1}}}}}}\mathit \Gamma _2^{\frac{{2\lef( {N - \theta } \right){\beta _1}}}{{{k_{{m_2}}}}}}\left\langle u \right\rangle _t^{\frac{{2\lef( {{\alpha _1} - 1} \right)}}{{{k_{{m_1}}}}}}\left\langle v \right\rangle _t^{\frac{{2{\beta _1}}}{{{k_{{m_2}}}}}} \circ $因为x0∈RN是任意选取的, 由此可得

$ {\left\langle u \right\rangle _t} \le {\gamma _1}\lef( N \right)\left[ \mu \right] + \gamma {\left\langle u \right\rangle _t}\left\{ {C_1^{ - \frac{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}{{{k_{{m_1}}}}}}{{\lef( {\frac{{{{\left\langle u \right\rangle }_t}}}{{\left[ \mu \right]}}} \right)}^{\frac{{{m_1} - 1}}{{{k_{{m_1}}}}}}} + {M_1}\lef( t \right)} \right\}。 $ (2.9)

同理可得

$ {\left\langle v \right\rangle _t} \le {\mathit \gamma _1}\lef( N \right)\left[ v \right] + \mathit \gamma {\left\langle v \right\rangle _t}\left\{ {C_1^{ - \frac{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}}{{{k_{{m_2}}}}}}{{\lef( {\frac{{{{\left\langle v \right\rangle }_t}}}{{\left[ v \right]}}} \right)}^{\frac{{{m_2} - 1}}{{{k_{{m_2}}}}}}} + {M_2}\lef( t \right)} \right\}。 $ (2.10)

其中$ {M_2}\lef( t \right) = {t^{1-\frac{{\theta {\alpha _2}}}{{2 + \theta \lef( {{m_1}-1} \right)}}-\frac{{\theta \lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}}}}\mathit \Gamma _1^{\frac{{2\lef( {N - \theta } \right){\alpha _2}}}{{{k_{{m_1}}}}}}\mathit \Gamma _2^{\frac{{2\lef( {N - \theta } \right)\lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{{k_{{m_2}}}}}}\left\langle u \right\rangle _t^{\frac{{2{\alpha _2}}}{{{k_{{m_1}}}}}}\left\langle v \right\rangle _t^{\frac{{2\lef( {{\beta _2} - 1} \right)}}{{{k_{{m_2}}}}}} \circ $



$ \begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} = \sup \left\{ {0 < t < T*\left| {{{\left\langle u \right\rangle }_t} \le 4{\gamma _1}\lef( N \right)\left[ \mu \right],{{\left\langle v \right\rangle }_t} \le 4{\gamma _2}\lef( N \right)\left[ v \right]} \right.} \right\},}\\ {{t_2} = \sup \left\{ {0 < t < T*\left| {{M_1}\lef( t \right) + {M_2}\lef( t \right) < \delta } \right.} \right\}. } \end{array} $ (2.11)

其中δ > 0充分小且待定。因为逼近解的光滑性使得〈u〉t和〈v〉t在[0, T*]上是连续的, 并且注意到(2.11)中t的幂次是正的, 所以t1, t2的定义是有意义的。令t3=min{T0, t1, t2}, 则对任意的0 < t < t3, 只要选取C1和C2充分大, 就有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {C_1^{- \frac{{2 + \theta \lef( {{m_1}- 1} \right)}}{{{k_{{m_1}}}}}}{{\lef( {\frac{{{{\left\langle u \right\rangle }_t}}}{{\left[u \right]}}} \right)}^{\frac{{{m_1} - 1}}{{{k_{{m_1}}}}}}} \le C_1^{ - \frac{{2 + \theta \lef( {{m_1} - 1} \right)}}{{{k_{{m_1}}}}}}{{\lef( {4{\gamma _1}\lef( N \right)} \right)}^{\frac{{{m_1} - 1}}{{{k_{{m_1}}}}}}} \le \frac{1}{{4\gamma }}, }\\ {C_2^{ - \frac{{2 + \theta \lef( {{m_2} - 1} \right)}}{{{k_{{m_2}}}}}}{{\lef( {\frac{{{{\left\langle v \right\rangle }_t}}}{{\left[v \right]}}} \right)}^{\frac{{{m_2} -1}}{{{k_{{m_2}}}}}}} \le C_2^{ -\frac{{2 + \theta \lef( {{m_2} -1} \right)}}{{{k_{{m_2}}}}}}{{\lef( {4{\gamma _2}\lef( N \right)} \right)}^{\frac{{{m_2} - 1}}{{{k_{{m_2}}}}}}} \le \frac{1}{{4\gamma }}。 } \end{array} $

进一步地, 选取δ < 14γ, 则由(2.9)~(2.10)可得

$ {\left\langle u \right\rangle _t} \le 2{\gamma _1}\lef( N \right)\left[ \mu \right],{\left\langle v \right\rangle _t} \le 2{\gamma _2}\lef( N \right)\left[ v \right],\forall 0 < t < {t_3}。 $ (2.12)

因此, 由(2.12)和注2.1可得:

$ {\left[ u \right]_t} \le \gamma \left[ \mu \right],{\left\langle v \right\rangle _t} \le \gamma \left[ v \right],\forall 0 < t < {t_3}。 $ (2.13)

故由(2.13)、(2.4)和注2.1可得(1.9)~(1.10)对任意的0 < t < t3成立。因此, 若能找到T0, 使得t3≥T0, 即可完成定理的证明。

不妨设t3 < T*, 否则令T0=T*即可。注意到(2.12)隐含着t3 < t1。通过选取C1, C2充分大和δ充分小, 可容易地排除t3=t0。最后, 估计t3=t2的定量下界。根据(2.12), 在(2.11)中用2γ1[μ]和2γ2[ν]分别代替〈u〉t和〈v〉t,即可得到t3的定量下界T0。