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一类复差分方程组的亚纯解与存在形式

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-04一类复差分方程组的亚纯解与存在形式论文作者:刘曼莉 高凌云,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 值分布理论 差分方程 亚纯解 复差分方程组 增长级
摘要: 利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的方法, 讨论了一类复差分方程组亚纯解的存在性问题和复差分方程组的存在形式。在适当条件的假设下, 得到了关于这类复差分方程组的两个结果, 并且有实例证明得到的结果是精确的。

0 引言

全文采用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的基本概念和通常记号[1-2]。

继研究复微分方程解的存在性和增长性问题之后, 许多数学工作者又利用Nevanlinna值分布理论研究了差分方程解的存在性和增长性问题, 得到了一批很好的结果[3-11]。近年来, 一些作者又展开了对复差分方程组的研究[12-18]。

Yang C C和Lain I[4]考虑了如下差分方程解的增长性问题

$ {{w}^{2}}\lef( z \right)+q\lef( z \right)w\lef( z+1 \right)=p\lef( z \right)。 $ (1)

其中:p(z), q(z)是有理函数。得到的结果为:

定理1[4] 若w(z)是方程(1)的超越亚纯解, 则ρ(w(z))=∞。

文献[12]讨论了如下一类复微分-差分方程组的存在性问题

$ \left\{ \begin{matrix} \sum\limits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{1j}}\lef( z \right)f_{1}^{\lef( {{\lambda }_{1j}} \right)}\lef( z+{{c}_{j}} \right)}={{R}_{2}}\lef( z,{{f}_{2}}\lef( z \right) \right)=\frac{{{P}_{2}}\lef( z,{{f}_{2}}\lef( z \right) \right)}{{{Q}_{2}}\lef( z,{{f}_{2}}\lef( z \right) \right)}, \\ \sum\limits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{2j}}\lef( z \right)f_{2}^{\lef( {{\lambda }_{2j}} \right)}\lef( z+{{c}_{j}} \right)}={{R}_{1}}\lef( z,{{f}_{1}}\lef( z \right) \right)=\frac{{{P}_{1}}\lef( z,{{f}_{1}}\lef( z \right) \right)}{{{Q}_{1}}\lef( z,{{f}_{1}}\lef( z \right) \right)}。 \\ \end{matrix} \right. $ (2)

式中:λij(i=1, 2; j=1, 2, …, n)是有限的非负整数; cj(j=1, 2, …, n)是异于0且相互判别的复数; 系数αij(i=1, 2; j=1, 2, …, n)分别是fi(z)(i=1, 2)的小函数;Pi(z, fi(z)), Qi(z, fi(z))(i=1, 2)分别是关于fi(z)(i=1, 2)的互质的多项式, 系数aij(i=1, 2; j=0, 1, 2…, pi), bij(i=1, 2; j=0, 1, 2, …qi)分别是fi(z)(i=1, 2)的小函数, 且di=degfiRi(z, fi(z))=max{pi, qi}; ${{\lambda }_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{\lef( {{\lambda }_{ij}}+1 \right)\lef( i=1, 2 \right)} $。得到如下结果:

定理2[12] 若(f1(z), f2(z))是复微分-差分方程组(2)的有限级超越亚纯解, 则d1d2≤λ1λ2。

受到文献[4, 12]启发, 用复差分方程组(3)代替方程(1)或方程组(2), 即

$ \left\{ \begin{matrix} w_{1}^{s}\lef( z \right)+\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{1j}}\lef( z \right){{w}_{1}}\lef( z+{{c}_{j}} \right)}}{w_{1}^{s}\lef( z \right)}={{R}_{2}}\lef( z,{{w}_{2}}\lef( z \right) \right), \\ w_{2}^{s}\lef( z \right)+\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{2j}}\lef( z \right){{w}_{2}}\lef( z+{{c}_{j}} \right)}}{w_{2}^{s}\lef( z \right)}={{R}_{1}}\lef( z,{{w}_{1}}\lef( z \right) \right), \\ \end{matrix} \right. $ (3)

其中:αij(i=1, 2;j=1, 2, …, n); ${{R}_{i}}\lef( z,{{w}_{i}}\lef( z \right) \right)=\frac{{{P}_{i}}\lef( z,{{w}_{i}}\lef( z \right) \right)}{{{Q}_{i}}\lef( z,{{w}_{i}}\lef( z \right) \right)}\lef( i=1,2 \right)$分别是wi(z)(i=1, 2)的有理函数; ${{P}_{i}}\lef( z, {{w}_{i}} \right)=\sum\limits_{j=0}^{{{p}_{i}}}{{{a}_{ij}}\lef( z \right)}w_{i}^{j} $, ${{Q}_{i}}\lef( z, {{w}_{i}} \right)=\sum\limits_{j=0}^{{{q}_{i}}}{{{b}_{ij}}\lef( z \right)}w_{i}^{j}\lef( i=1, 2 \right) $分别是关于wi的互质的多项式, 系数aij(i=1, 2;j=0, 1, 2, …pi), bij(i=1, 2;j=0, 1, 2, …, qi)分别是wi(z)(i=1, 2)的小函数;s是一个非负数。

定义 设(w1(z), w2(z))是复差分方程组(3)的亚纯解, S(r)是复差分方程组(3)的所有系数的特征函数之和, 即$S\lef( r \right)=\sum\limits_{i=1}^{2}{\sum\limits_{j=1}^{n}{T\lef( r, {{\alpha }_{ij}} \right)}}+\sum\limits_{i=1}^{2}{\sum\limits_{j=1}^{{{p}_{i}}}{T\lef( r, {{a}_{ij}} \right)}}+\sum\limits_{i=1}^{2}{\sum\limits_{j=1}^{{{q}_{i}}}{T\lef( r, {{b}_{ij}} \right)}} $, 若(w1(z), w2(z))满足S(r)=o{T(r, wi)}(i=1, 2), 可能须除去线测度为有穷的例外值集E, 则称(w1(z), w2(z))是复差分方程组的亚纯允许解。

1 主要结果

本文主要考虑了复差分方程组(3)的亚纯解的存在性问题和复差分方程组(3)的存在形式, 得到了两个结果。

定理3 设在复差分方程组(3)中

$ {{R}_{1}}\lef( z, {{w}_{1}}\lef( z \right) \right)=\frac{{{a}_{10}}\lef( z \right)+{{a}_{11}}\lef( z \right){{w}_{1}}\lef( z \right)+\cdots +{{a}_{{{1}_{{{p}_{1}}}}}}\lef( z \right){{w}_{1}}{{\lef( z \right)}^{^{{{p}_{1}}}}}}{{{b}_{10}}\lef( z \right)+{{b}_{11}}\lef( z \right){{w}_{1}}\lef( z \right)+\cdots +{{b}_{{{1}_{{{q}_{1}}}}}}\lef( z \right){{w}_{1}}{{\lef( z \right)}^{^{{{q}_{1}}}}}}, $
$ {{R}_{2}}\lef( z,{{w}_{2}}\lef( z \right) \right)=\frac{{{a}_{20}}\lef( z \right)+{{a}_{21}}\lef( z \right){{w}_{2}}\lef( z \right)+\cdots +{{a}_{{{2}_{{{p}_{2}}}}}}\lef( z \right){{w}_{2}}{{\lef( z \right)}^{^{{{p}_{2}}}}}}{{{b}_{20}}\lef( z \right)+{{b}_{21}}\lef( z \right){{w}_{2}}\lef( z \right)+\cdots +{{b}_{{{2}_{{{q}_{2}}}}}}\lef( z \right){{w}_{2}}{{\lef( z \right)}^{^{{{q}_{2}}}}}}。 $

式中:aij(i=1, 2;j=0, 1, 2, …, pi),bij(i=1, 2;j=0, 1, 2, …, qi)分别是wi(z)(i=1, 2)的小函数, 令di=degwiRi(z, wi(z))=max{pi, qi}(i=1, 2)。若(w1(z), w2(z))是复差分方程组(3)的亚纯解且ρ(wi(z)) < ∞(i=1, 2), 则d1d2≤(2s+n)2。

注1 例子1表明定理3的结论是成立的。

例1 (w1(z), w2(z))=(ez-z, ez+z)是复差分方程组

$ \left\{ \begin{matrix} {{w}_{1}}\lef( z \right)+\frac{{{w}_{1}}\lef( z+1 \right)+{{w}_{1}}\lef( z-1 \right)}{{{w}_{1}}\lef( z \right)}\text{=}\frac{w_{2}^{2}\lef( z \right)+\lef( e+{{e}^{-1}}-4z \right){{w}_{2}}\lef( z \right)-z\lef( 2+e+{{e}^{-1}}-4z \right)}{{{w}_{2}}\lef( z \right)-2z}, \\ {{w}_{2}}\lef( z \right)+\frac{{{w}_{2}}\lef( z+1 \right)+{{w}_{2}}\lef( z-1 \right)}{{{w}_{2}}\lef( z \right)}=\frac{w_{1}^{2}\lef( z \right)+\lef( e+{{e}^{-1}}+4z \right){{w}_{1}}\lef( z \right)+z\lef( 2+e+{{e}^{-1}}+4z \right)}{{{w}_{1}}\lef( z \right)+2z} \\ \end{matrix} \right. $

的有限级亚纯解, 易知

$ {{d}_{1}}=2, {{d}_{1}}=2, n=2, s=1, 4={{d}_{1}}{{d}_{2}}<{{\lef( 2s+n \right)}^{2}}=9。 $

注2 例子2表明定理3中的上界是可以达到的。

例2 $\lef( {{w}_{1}}\lef( z \right),{{w}_{2}}\lef( z \right) \right)\text{=}\lef( \frac{1}{z},\frac{1}{z+1} \right) $是复差分方程组

$ \left\{ \begin{matrix} 1+{{w}_{1}}\lef( z+1 \right)+{{w}_{1}}\lef( z-1 \right)=\frac{2w_{2}^{2}\lef( z \right)-1}{2{{w}_{2}}\lef( z \right)-1}, \\ 1+{{w}_{2}}\lef( z+1 \right)+{{w}_{2}}\lef( z-1 \right)=\frac{2w_{1}^{2}\lef( z \right)+4{{w}_{1}}\lef( z \right)-1}{2{{w}_{1}}\lef( z \right)+1} \\ \end{matrix} \right. $

的有限级亚纯解, 易知

$ {{d}_{1}}=2, {{d}_{2}}=2, n=2, s=0, {{d}_{1}}{{d}_{2}}={{\lef( 2s+n \right)}^{2}}=4。 $

定理4 设在复差分方程组(3)中, Pi(z, wi(z))、Qi(z, wi(z))(i=1, 2)分别是关于wi(z)的互质的多项式, 系数aij(i=1, 2;j=0, 1, 2, …, pi),bij(i=1, 2;j=0, 1, 2, …, qi)分别是wi(z)(i=1, 2)的小函数。di=max{pi, qi}=max{degwiPi, degwiQi}, 且qi=degwiQi>0, Qi(i=1, 2)是首项系数为1的多项式。若(w1(z), w2(z))是复差分方程组(3)的有限级亚纯允许解, wi(z)满足$ \overline{N}\lef( r, {{w}_{i}} \right)+\overline{N}\lef( r, \frac{1}{{{w}_{i}}} \right)=S\lef( r, {{w}_{i}} \right)\lef( i=1, 2 \right) $, d1d2≠4s2, 且对于足够大的r, 存在βi∈[0, di)(i=1, 2), 使得

$ \overline{N}\lef( r, \sum\limits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{ij}}\lef( z \right){{w}_{i}}\lef( z+{{c}_{j}} \right)} \right)\le {{\beta }_{i}}\overline{N}\lef( \lef( r+C \right), {{w}_{i}} \right)+S\lef( r, {{w}_{i}} \right)\lef( i=1, 2 \right), $

则Q1(z, w1(z))=(w1(z)+h1(z))q1, Q2(z, w2(z))=(w2(z)+h2(z))q2中至少有一个成立, 其中h1(z), h2(z)是小函数。

注3 例子3表明定理4中的结论是成立的。

例3 (w1(z), w2(z))=(ez, e-z)是复差分方程组

$ \left\{ \begin{matrix} {{w}_{1}}\lef( z \right)+\frac{e{{w}_{1}}\lef( z-1 \right)+{{e}^{-1}}{{w}_{1}}\lef( z+1 \right)}{{{w}_{1}}\lef( z \right)}=\frac{2{{w}_{2}}\lef( z \right)+1}{2{{w}_{2}}\lef( z \right)}, \\ {{w}_{2}}\lef( z \right)+\frac{e{{w}_{2}}\lef( z-1 \right)+{{e}^{-1}}{{w}_{2}}\lef( z+1 \right)}{{{w}_{2}}\lef( z \right)}=\frac{2{{w}_{1}}\lef( z \right)+1}{2{{w}_{1}}\lef( z \right)} \\ \end{matrix} \right. $

的有限级亚纯允许解, 易知

$ {{d}_{1}}=1,{{d}_{2}}=1,n=2,s=1,1={{d}_{1}}{{d}_{2}}\ne 4{{s}^{2}}=4,\overline{N}\lef( r,{{w}_{i}} \right)+\overline{N}\lef( r,\frac{1}{{{w}_{i}}} \right)\\ =S\lef( r,{{w}_{i}} \right)\lef( i=1,2 \right)。 $

注4 例子4表明定理4中的条件不能被去掉.

例4 $\lef( {{w}_{1}}\lef( z \right),{{w}_{2}}\lef( z \right) \right)\text{=}\lef( \frac{1}{z-1},\frac{1}{z+1} \right)$是复差分方程组

$ \left\{ \begin{matrix} 1+{{w}_{1}}\lef( z-1 \right)+{{w}_{1}}\lef( z-3 \right)=\frac{w_{2}^{2}\lef( z \right)-2{{w}_{2}}\lef( z \right)-1}{w_{2}^{2}\lef( z \right)-1}, \\ 1+{{w}_{2}}\lef( z-1 \right)+{{w}_{2}}\lef( z-3 \right)=\frac{\frac{1}{5}w_{1}^{2}\lef( z \right)-\frac{2}{5}{{w}_{1}}\lef( z \right)-\frac{1}{15}}{{{\lef( {{w}_{1}}\lef( z \right)-\frac{4}{15}2 \right)}^{2}}-\frac{1}{225}} \\ \end{matrix} \right. $

的有限级亚纯允许解, 易知

$ {{d}_{1}}=2, {{d}_{1}}=2, s=0, 4={{d}_{1}}{{d}_{2}}\ne 4{{s}^{2}}=0, $

但是$\overline{N}\lef( r, {{w}_{1}} \right)+\overline{N}\lef( r, \frac{1}{{{w}_{1}}} \right)=T\lef( r, {{w}_{1}} \right)+S\lef( r, {{w}_{1}} \right) $, $\overline{N}\lef( r, {{w}_{2}} \right)+\overline{N}\lef( r, \frac{1}{{{w}_{2}}} \right)=T\lef( r, {{w}_{2}} \right)+S\lef( r, {{w}_{2}} \right)$。此时, 定理4中的结论不成立。

2 一些引理

为了定理的证明, 需要以下引理:

引理1[3] 设

$ R\lef( z, w\lef( z \right) \right)=\frac{P\lef( z, w\lef( z \right) \right)}{Q\lef( z, w\lef( z \right) \right)}=\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}{{{a}_{i}}\lef( z \right){{w}^{i}}\lef( z \right)}}{\sum\limits_{j=0}^{n}{{{b}_{j}}\lef( z \right){{w}^{j}}\lef( z \right)}} $

为关于w(z)的不可约的有理函数, 系数{ai(z)}, {bj(z)}为亚纯函数, 且满足

$ T\lef( r, {{a}_{i}} \right)=S\lef( r, w \right), T\lef( r, {{b}_{j}} \right)=S\lef( r, w \right), i, j=0, 1, 2, \cdots n。 $

如果w(z)是亚纯函数, 则有

$ T\lef( r, R\lef( z, w \right) \right)=\max \left\{ p, q \right\}T\lef( r, w \right)+S\lef( r, w \right)。 $

引理2[5] 设w(z)是有限级为ρ=ρ(w)的非常数亚纯函数, c为一固定的非零复数, 则对每一个ε>0, 有

$ T\lef( r, w\lef( z+c \right) \right)=T\lef( r, w\lef( z \right) \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)。 $

引理3[19] 设w(z)是亚纯函数, 且φ是首项系数为1的多项式, 即

$ \phi ={{w}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{w}^{n-1}}+\cdots +{{a}_{0}}, $

其中ai(i=0, 1, 2, …, n-1)是w(z)的小函数。则

$ \phi ={{\lef( w+\frac{{{a}_{n-1}}}{n} \right)}^{n}} $



$ T\lef( r, w \right)\le \overline{N}\lef( r, \frac{1}{\phi } \right)+\overline{N}\lef( r, w \right)+S\lef( r, w \right) $

之一必成立。

引理4[20] 设w(z)是非常数的亚纯函数, P(z, w), Q(z, w)是关于w(z)的互质的多项式, 系数{ai}, {bj}是w(z)的小函数, 则

$ \overline{N}\lef( r, \frac{1}{Q\lef( z, w \right)} \right)\le \overline{N}\lef( r, \frac{P\lef( z, w \right)}{Q\lef( z, w \right)} \right)+S\lef( r, w \right)。 $

3 定理3的证明

证明 因为差分方程组(3)中的系数αij(z)(i=1, 2;j=1, 2, …, n), aij(z)(i=1, 2;j=0, 1, 2…, pi)和bij(z)(i=1, 2;j=0, 1, 2, …, qi)分别是关于wi(z)的小函数, 可能须除去一个对数测度为有穷的r例外值集E1, 即$\int{_{{{E}_{1}}}{{d}_{r}}/r}<\infty $, 所以有

$ T\lef( r, {{a}_{ij}} \right)=S\lef( r, {{w}_{i}} \right), i=1, 2;j=1, 2, \cdots, n, $
$ T\lef( r, {{a}_{ij}} \right)=S\lef( r, {{w}_{i}} \right), i=1, 2;j=1, 2, \cdots, {{p}_{i}}, $
$ T\lef( r, {{b}_{ij}} \right)=S\lef( r, {{w}_{i}} \right), i=1, 2;j=1, 2, \cdots, {{q}_{i}}。 $

令(w1(z), w2(z))是方程组(3)的有限级亚纯解, 取ρ=max{ρ1, ρ2}。由引理1、2可得

$ \begin{matrix} {{d}_{2}}T\lef( r,{{w}_{2}} \right)=T\lef( r,{{R}_{2}}\lef( z,{{w}_{2}} \right) \right)+S\lef( r,{{w}_{2}} \right)=T\lef( r,{{w}_{1}}^{s}+\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{1j}}\lef( z \right){{w}_{1}}\lef( z+{{c}_{j}} \right)}}{{{w}_{1}}^{s}} \right)+S\lef( r,{{w}_{2}} \right)\le \\ T\lef( r,w_{1}^{s} \right)+T\lef( r,\frac{1}{w_{_{1}}^{s}} \right)+T\lef( r,\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{1j}}\lef( z \right){{w}_{1}}\lef( z+{{c}_{j}} \right)} \right.+S\lef( r,{{w}_{2}} \right)+O\lef( 1 \right)\le \\ \lef( 2s+n \right)T\lef( r,{{w}_{1}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)+S\lef( r,{{w}_{2}} \right)\le \\ \lef( 2s+n+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r,{{w}_{1}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)+S\lef( r,{{w}_{2}} \right), \\ \end{matrix} $

则有

$ \lef( {{d}_{2}}+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{2}} \right)\le \lef( 2s+n+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{1}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)。 $ (4)

同样可得

$ \lef( {{d}_{1}}+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{1}} \right)\le \lef( 2s+n+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{2}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)。 $ (5)

因此, 将式(4)乘以(d1+o(1)), 式(5)乘以(2s+n+o(1))可分别得到

$ \lef( {{d}_{1}}+o\lef( 1 \right) \right)\lef( {{d}_{2}}+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{2}} \right)\le \lef( {{d}_{1}}+o\lef( 1 \right) \right)\\ \lef( 2s+n+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{1}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right), $ (6)
$ \lef( 2s+n+o\lef( 1 \right) \right)\lef( {{d}_{1}}+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{1}} \right)\le {{\lef( 2s+n+o\lef( 1 \right) \right)}^{2}}T\\ \lef( r, {{w}_{2}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)。 $ (7)

将式(7)代入式(6), 可得

$ \lef( {{d}_{1}}+o\lef( 1 \right) \right)+\lef( {{d}_{2}}+o\lef( 1 \right) \right)T\lef( r, {{w}_{2}} \right)\le {{\lef( 2s+n+o\lef( 1 \right) \right)}^{2}}T\lef( r, {{w}_{2}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)。 $

因此

$ {{d}_{1}}{{d}_{2}}T\lef( r, {{w}_{2}} \right)\le {{\lef( 2s+n \right)}^{2}}T\lef( r, {{w}_{2}} \right)+O\lef( {{r}^{o-1+\varepsilon }} \right)+O\lef( \log r \right)+S\lef( r, {{w}_{2}} \right)。 $ (8)

将式(8)两边同时除以T(r, w2), 当r→∞除去一个对数测度为有穷的r例外值集E1, 可得

$ {{d}_{1}}{{d}_{2}}\le {{\lef( 2s+n \right)}^{2}}。