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辫子Hopf拟群和Yeterr-Drinfel’d拟模代数的关系研究

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-04辫子Hopf拟群和Yeterr-Drinfel’d拟模代数的关系研究论文作者:吴紫娟 陈园园 张良云,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: Hopf拟群 拟重模代数 Yetter-Drinfel’d拟模代数 Harrison 2-余循环
摘要: 给出Long斜Hopf拟群成为拟重模代数的充分必要条件, 研究了辫子Hopf拟群和Yeterr-Drinfel’d拟模代数之间的关系。最后, 通过Harrison-2余循环构造量子化的Long斜Hopf拟群, 并证明量子化的Long斜Hopf拟群是拟重模代数。

0 引言

平行球面(parallelizable sphere)仅有S1, S3和S7, 其中前两个是群, 但S7相对弱一些。最近, 文献[1]为了研究平行球面S7的代数结构, 首次介绍了Hopf拟群和Hopf余拟群概念, 与其他广义Hopf代数不同, 不需要(余)乘法满足(余)结合律, 而是由两个较弱的对极条件来补充。

文献[2]给出了重模代数与Long双代数之间的关系, 文献[3]研究了重模代数的量子化, 文献[4]通过代数形变构造了Hopf拟群, 文献[5]通过余代数形变构造了Hopf余拟群。

基于以上研究结果, 本文将研究Hopf拟群上的拟重模代数, 主要目的就是建立Long斜Hopf拟群和拟重模代数之间的关系, 以及辫子Hopf拟群和Yetter-Drinfel’d拟模代数之间的关系。

首先, 介绍了Hopf(余)拟群上的一些概念和结论; 其次给出了Long斜Hopf拟群成为右H-拟重模代数的充分必要条件。然后研究了辫子Hopf拟群和Yetter-Drinfeld拟模代数之间的关系。最后, 由Harrison 2-余循环, 研究了Long斜Hopf拟群的量子化。

所有的向量空间、张量积和映射都在域k上考虑, 代数、余代数以及模和余模等都采用Sweedler记法。为了书写方便, 省略了所有的求和符号, 一些没有解释的概念和记号都能在文献[6-7]中找到。

定义1 设集合G对于乘法和单位e满足下列性质:对任意u, v∈G, 存在u-1∈G,

$ {{u}^{-1}}\lef( uv \right)=v, \lef( vu \right){{u}^{-1}}=v, $

则称G为一个拟群[1]。

定义2 设H是一个未必结合但有单位的代数, 如果余乘法Δ :H→H⊗H和余单位ε:H→k均为代数映射并使得H为余结合余代数, 且映射S:H→H满足

$ \mu \lef( \text{id}\otimes \mu \right)\lef( S\otimes \text{id}\otimes \text{id} \right)\lef( \Delta \otimes \text{id} \right)=\varepsilon \otimes \text{id}=\mu \lef( \text{id}\otimes \mu \right)\lef( \text{id}\otimes S\otimes \text{id} \right)\lef( \Delta \otimes \text{id} \right), $ (1)
$ \mu \lef( \mu \otimes \text{id} \right)\lef( \text{id}\otimes S\otimes \text{id} \right)\lef( \text{id}\otimes \Delta \right)=\text{id}\otimes \varepsilon =\mu \lef( \mu \otimes \text{id} \right)\lef( \text{id}\otimes \text{id}\otimes \text{S} \right)\lef( \text{id}\otimes \Delta \right), $ (2)

则称H是一个Hopf拟群[1]。

使用Sweedler记法, 对任意h, g∈H, 式(1)和(2)分别化为

$ S\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}} \right)\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}g \right)=\varepsilon \lef( h \right)g={{h}_{\lef( 1 \right)}}\lef( S\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}g \right) \right), $
$ \lef( {gS\lef( {{h_{\lef( 1 \right)}}} \right)} \right){h_{\lef( 2 \right)}} = g\varepsilon \lef( h \right) = \lef( {g{h_{\lef( 1 \right)}}} \right)S\lef( {{h_{\lef( 2 \right)}}} \right)。$

注1 (1)如果Hopf拟群H中的対极S为双射, 其逆记为S-1, 则h(2)S-1(h(1))=ε(h)=S-1(h(2))h(1); (2) Hopf拟群是Hopf代数当且仅当它的乘法满足结合律; (3)若G是一个拟群, 则由文献[1]中的命题4.7知:H=kG是一个Hopf拟群, 其余乘法、余单位和对极分别定义为:Δ(u)=u⊗u, ε(u)=1, S(u)=u-1。

定义3 设H是一个未必余结合但有余单位的余代数, 如果乘法μ:H⊗H→H和单位ι:k→H均为余代数映射并使得H为结合代数, 且映射S:H→H满足:

$ \lef( \mu \otimes \text{id} \right)\lef( S\otimes \text{id}\otimes \text{id} \right)\lef( \text{id}\otimes \Delta \right)\Delta =1\otimes \text{id}=\lef( \mu \otimes \text{id} \right)\lef( \text{id}\otimes S\otimes \text{id} \right)\lef( \text{id}\otimes \Delta \right)\Delta, $ (3)
$ \lef( \text{id}\otimes \mu \right)\lef( \text{id}\otimes S\otimes \text{id} \right)\lef( \Delta \otimes \text{id} \right)\Delta =\text{id}\otimes 1=\lef( \text{id}\otimes \mu \right)\lef( S\otimes \text{id}\otimes \text{id} \right)\lef( \Delta \otimes \text{id} \right)\Delta, $ (4)

则称H是Hopf余拟群[1]。

使用Sweedler记法, 对任意h∈H, 等式(3)与(4)分别化为

$ S\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}} \right){{h}_{\lef( 2 \right)\lef( 1 \right)}}\otimes {{h}_{\lef( 2 \right)\lef( 2 \right)}}=1\otimes h={{h}_{\lef( 1 \right)}}S\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)\lef( 1 \right)}} \right)\otimes {{h}_{\lef( 2 \right)\lef( 2 \right)}}, $
$ {{h}_{\lef( 1 \right)\lef( 1 \right)}}\otimes S\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)\lef( 2 \right)}} \right){{h}_{\lef( 2 \right)}}=h\otimes 1={{h}_{\lef( 1 \right)\lef( 1 \right)}}\otimes {{h}_{\lef( 1 \right)\lef( 2 \right)}}S\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}} \right)。 $

定义4 (1)设H是Hopf拟群, 如果存在线性映射α:V⊗H→V(记作α(v⊗h)=v$\leftharpoonup$h)满足:对任意h∈H, v∈V,

$ \lef( v\leftharpoonup {{h}_{\lef( 1 \right)}} \right)\leftharpoonup S\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\varepsilon \lef( v\leftharpoonup S\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right)\leftharpoonup {{h}_{\lef( 2 \right)}}, $
$ v\leftharpoonup1=v, $

则称向量空间V是一个右H-拟模。同样地, 可以定义左H-拟模[8]。

(2)如果代数A(不一定具有结合律)是右H-拟模, 并满足下列条件:对任意h∈H, a, b∈A,

$ \lef( ab \right)\leftharpoonup h=\lef( \leftharpoonup a{{h}_{\lef( 1 \right)}} \right)\lef( b\leftharpoonup {{h}_{\lef( 2 \right)}} \right), $
$ 1\leftharpoonup h=\varepsilon \lef( h \right)1, $

则称A是一个右H-拟模代数。对应地, 可以定义右H-拟模余代数[9]。

定义5 (1)设H是Hopf余拟群, 如果存在线性映射ρ:M→M⊗H(记作ρ(m)=m(0)⊗m(1))满足:对任意m∈M,

$ {{m}_{\lef( 0 \right)\lef( 0 \right)}}\otimes {{m}_{\lef( 0 \right)\lef( 1 \right)}}S\lef( {{m}_{\lef( 1 \right)}} \right)=m\otimes 1={{m}_{\lef( 0 \right)\lef( 0 \right)}}\otimes S\lef( {{m}_{\lef( 0 \right)\lef( 1 \right)}} \right){{m}_{\lef( 1 \right)}}, $
$ {{m}_{\lef( 0 \right)}}\varepsilon \lef( {{m}_{\lef( 1 \right)}} \right)=m, $

则称M是一个右H-拟余模。同样地, 可以定义左H-拟余模[8]。

(2)如果代数A(不一定具有结合律)是右H-拟余模, 并满足下列条件:对任意a, b∈A,

$ {{\lef( ab \right)}_{\lef( 0 \right)}}\otimes {{\lef( ab \right)}_{\lef( 1 \right)}}={{a}_{\lef( 0 \right)}}{{b}_{\lef( 0 \right)}}\otimes {{a}_{\lef( 1 \right)}}{{b}_{\lef( 1 \right)}}, \rho \lef( 1 \right)=1\otimes 1, $

则称A是一个右H-拟余模代数[9]。

(3)如果余代数C(不一定具有余结合律)是右H-拟余模, 并满足下列条件:对任意c∈C,

$ {{c}_{\lef( 0 \right)\lef( 1 \right)}}\otimes {{c}_{\lef( 0 \right)\lef( 2 \right)}}\otimes {{c}_{\lef( 1 \right)}}={{c}_{\lef( 1 \right)\lef( 0 \right)}}\otimes {{c}_{\lef( 2 \right)\lef( 0 \right)}}\otimes {{c}_{\lef( 1 \right)\lef( 1 \right)}}{{c}_{\lef( 2 \right)\lef( 2 \right)}}, $
$ \varepsilon \lef( {{c}_{\lef( 0 \right)}} \right){{c}_{\lef( 1 \right)}}=\varepsilon \lef( c \right)1, $

则称C是一个右H-拟余模余代数[9]。

定义6 设H为Hopf拟群, 若存在卷积可逆线性映射δ:H⊗H→k满足下列条件:对任意x, y∈H,

$ \delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right){{x}_{\lef( 2 \right)}}{{y}_{\lef( 2 \right)}}={{y}_{\lef( 1 \right)}}{{x}_{\lef( 1 \right)}}\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right), $
$ \delta \lef( xy, z \right)=\delta \lef( x, {{z}_{\lef( 1 \right)}} \right)\delta \lef( y, {{z}_{\lef( 2 \right)}} \right), $
$ \delta \lef( x, 1 \right)=\varepsilon \lef( x \right)=\delta \lef( 1, x \right), $
$ \delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, S\lef( {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\varepsilon \lef( x \right)\varepsilon \lef( y \right), \delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, S\lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right)=\varepsilon \lef( x \right)\varepsilon \lef( y \right), $

则称H为辫子(余拟三角)Hopf拟群。

1 Hopf拟群上的拟重模代数

本节, 主要介绍拟重模代数, 并建立拟重模代数与Long斜Hopf拟群之间的关系。

定义7 (1)设H是Hopf拟群, 若M既是右H-拟模又是右H-余模, 如果对任意m∈M, h∈H,

$ {{\lef( m\leftharpoonup h \right)}_{\lef( 0 \right)}}\otimes {{\lef( m\leftharpoonup h \right)}_{\lef( 1 \right)}}={{m}_{\lef( 0 \right)}}\leftharpoonup h\otimes {{m}_{\lef( 1 \right)}}, $

则称M是右H-拟重模。

(2)设A为右H-拟重模, 如果A既是右H-拟模代数又是右H-余模代数, 则称它为右H-拟重模代数。

设H是Hopf拟群, 且δ:H⊗H→k是一个线性映射。定义H上作用“$\leftharpoonup$”如下:对任意h, x∈H,

$ h\leftharpoonup x=\delta \lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}, x \right){{h}_{\lef( 1 \right)}}。 $

引理1 根据上面定义, (H, δ, $\leftharpoonup$, Δ)是右H-拟重模当且仅当下面条件满足:对任意x, y∈H,

(L1) $\delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, y \right){{x}_{\lef( 2 \right)}}\text{=}\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, y \right){{x}_{\lef( 1 \right)}} $;

(L2)$\delta \lef( x1 \right)=\varepsilon \lef( x \right)$;

(L3) $\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, S\lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right)=\varepsilon \lef( x \right)\varepsilon \lef( y \right) $; $\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, S\lef( {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\varepsilon \lef( x \right)\varepsilon \lef( y \right) $。

证明 (1)设(L2)成立, 则x$\leftharpoonup$1=δ(x(2), 1)x(1)=ε(x(2))x(1)=x。反过来, 如果对任意x∈H, x$\leftharpoonup$1=x, 即, δ(x2, 1)x1=ε(x(2))x(1), 使用ε作用等式两边, 便得(L2)。所以, 对任意x∈H, x$\leftharpoonup$1=x当且仅当(L2)成立。

(2)设(L2)和(L3)成立, 则

$ \begin{matrix} \lef( x\leftharpoonup {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right)\leftharpoonup S\lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\delta \lef( {{x}_{\lef( 3 \right)}}, {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, S\lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right){{x}_{\lef( 1 \right)}}=\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, {{y}_{\lef( 1 \right)}}S\lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right){{x}_{\lef( 1 \right)}}= \\ \varepsilon \lef( y \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, 1 \right){{x}_{\lef( 1 \right)}}=\varepsilon \lef( y \right)x。 \\ \end{matrix} $

同样, 可以证明:(x$\leftharpoonup$S(y(1)))$\leftharpoonup$y(2)=ε(y)x, 所以(H, δ, $\leftharpoonup$)是右H-拟模。反过来, 若(H, δ, $\leftharpoonup$)是右H-拟模, 则易证:(L2)和(L3)成立。

(3)设(L1)成立, 则下式成立:

$ \Delta \lef( x\leftharpoonup y \right)=\delta \lef( {{x}_{\lef( 3 \right)}}, y \right){{x}_{\lef( 1 \right)}}\otimes {{x}_{\lef( 2 \right)}}=\delta \lef( {{x}_{\lef( \text{2} \right)}}, y \right){{x}_{\lef( 1 \right)}}\otimes {{x}_{\lef( \text{3} \right)}}\text{=}{{x}_{\lef( 1 \right)}}\leftharpoonup y\otimes {{x}_{\lef( 2 \right)}}。 $

反过来, 若Δ(x$\leftharpoonup$y)=x(1)$\leftharpoonup$y⊗x(2)成立, 则使用ε⊗id作用于上述等式两边, 便得(L1)。

引理2 根据上面定义, (H, δ, $\leftharpoonup$, Δ)是右H-拟模代数当且仅当下面等式成立:对任意x, y, z∈H,

(L2) δ(x, 1)=ε(x);

(L3)δ(x(2), y(1))δ(x(1), S(y(2)))=ε(x)ε(y), δ(x(2), S(y(1)))δ(x(1), y(2))=ε(x)ε(y);

(L4) δ(1, x)=ε(x);

(L5) δ(xy, z)=δ(x, z(1))δ(y, z(2))。

证明 易证:1$\leftharpoonup$x=ε(x)1, 对任意x∈H当且仅当(L4)成立。再由引理1知:(H, δ, $\leftharpoonup$, Δ)为右H-拟模当且仅当(L2)和(L3)成立。

设(L5)成立, 则

$ \lef( x\leftharpoonup {{z}_{\lef( 1 \right)}} \right)\lef( y\leftharpoonup {{z}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, {{z}_{\lef( 1 \right)}} \right)\delta \lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}},\\ {{z}_{\lef( 2 \right)}} \right){{x}_{\lef( 1 \right)}}{{y}_{\lef( 1 \right)}}=\delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}{{y}_{\lef( 2 \right)}}, z \right){{x}_{\lef( 1 \right)}}{{y}_{\lef( 1 \right)}}=\lef( xy \right)\leftharpoonup z。 $

反过来, 如果上述等式成立, 将ε作用于其两边, 便可以得到(L5)。所以(x$\leftharpoonup$z(1))(y$\leftharpoonup$z(2))=(xy)$\leftharpoonup$z当且仅当(L5)成立。易知:1$\leftharpoonup$x=ε(x)1当且仅当(L4)成立。

定义8 (1)设H为Hopf拟群, 若存在线性映射δ:H⊗H→k满足:对任意x, y, z∈H,

(L1) δ(x(1), y)x(2)=δ(x(2), y)x(1);

(L2) δ(x, 1)=ε(x);

(L3′) δ(x(1), y(1))δ(x(2), S(y(2)))=ε(x)ε(y), δ(x(1), S(y(1)))δ(x(2), y(2))=ε(x)ε(y);

(L4) δ(1, x)=ε(x);

(L5′) δ(xy, z)=δ(x, z(2))δ(y, z(1)),

则称(H, δ)为Long-Hopf拟群。

(2)设H为Hopf拟群, 如果存在线性映射δ:H⊗H→k满足:对任意x, y, z∈H,

(L1) δ(x(1), y)x(2)=δ(x(2), y)x(1);

(L2) δ(x, 1)=ε(x);

(L3) δ(x(2), y(1))δ(x(1), S(y(2)))=ε(x)ε(y), δ(x(2), S(y(1)))δ(x(1), y(2))=ε(x)ε(y);

(L4) δ(1, x)=ε(x);

(L5) δ(xy, z)=δ(x, z(1))δ(y, z(2)),

则称(H, δ)为Long斜Hopf拟群。

(3)设H为Hopf拟群, 如果存在卷积可逆线性映射δ:H⊗H→k满足:对任意x, y, z∈H,

(L1) δ(x(1), y)x(2)=δ(x(2), y)x(1);

(L2) δ(x, 1)=ε(x);

(L3″) δ(x, yz)=δ(x(2), y)δ(x(1), z);

(L4) δ(1, x)=ε(x);

(L5) δ(xy, z)=δ(x, z(1))δ(y, z(2)),

则称(H, δ)为强Long斜Hopf拟群。

容易看出:每个强Long斜Hopf拟群是Long斜Hopf拟群。这是因为(L3)可以由(L3″)诱导:

$ \delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, {{z}_{\lef( 1 \right)}} \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, S\lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right)=\delta \lef( x, {{y}_{\lef( 1 \right)}}S\lef( {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right. \right)=\delta \lef( x, \varepsilon \lef( y \right)1 \right)=\varepsilon \lef( x \right)\varepsilon \lef( y \right); $
$ \delta \lef( {{x}_{\lef( 2 \right)}}, S\lef( {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right)\delta \lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}}, {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\delta \lef( x, S\lef( {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right){{y}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\delta \lef( x, \varepsilon \lef( y \right)1 \right)=\varepsilon \lef( x \right)\varepsilon \lef( y \right)。 $

于是, 根据引理1和引理2, 有

定理1 设H是Hopf拟群, δ:H⊗H→k是线性映射, 则下面两个条件等价:

(1) (H, δ)是Long斜Hopf拟群;

(2) (H, δ, $\leftharpoonup$, Δ)是右H-拟重模代数。

注2 类似地可以证明:定理1的对偶结果也成立。

2 Yetter-Drinfel’d拟模代数与辫子Hopf拟群

本节, 主要介绍Hopf拟群上Yetter-Drinfel’d拟模与辫积概念, 研究Yetter-Drinfel’d拟模代数与辫子Hopf拟群之间的关系。

定义9 (1)设H是Hopf拟群, 对极S是双射。如果M既是左H-拟模又是右H-余模, 且满足下列条件:对任意m∈M, h∈H,

$ \lef( \text{YD1} \right){{h}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot {{m}_{\lef( 0 \right)}}\otimes {{h}_{\lef( 2 \right)}}{{m}_{\lef( 1 \right)}}={{\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}\centerdot m \right)}_{\lef( 0 \right)}}\otimes {{\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}\centerdot m \right)}_{\lef( 1 \right)}}{{h}_{\lef( 1 \right)}}, $

则称M为左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模。

(2)设A是一个左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模, 如果A既是左H-拟模代数又是右Hop-余模代数, 则称它为左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模代数。类似地, 可以定义左H-Yetter-Drinfel’d拟模代数。

(3)设A是一个左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模, 如果它既是Hopf拟群也是左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模代数, 则称它为左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模Hopf拟群。

注3 设H是可换和余可换Hopf拟群, 如果M是左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模, 则易证M是左、右H-拟重模; 如果A是左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模代数, 则A是左、右H-拟重模代数。

设A和B均是左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模Hopf拟群。在张量积A⊗B上, 定义辫积A∝B如下:对任意a, b∈A, x, y∈B,

$ \lef( a\propto x \right)\lef( b\propto y \right)=a{{b}_{\lef( 0 \right)}}\propto \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)y。 $

从而有如下结论。

定理2 设H是Hopf拟群, A和B均为左、右H-Yetter-Drinfel’d拟模Hopf拟群, 并满足下列条件:对任意h, g∈H, a∈A,

$ g\centerdot \lef( h\centerdot a \right)=\lef( hg \right)\centerdot a, $ (5)
$ S{{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}} \right)}_{\lef( 0 \right)}}\otimes {{a}_{\lef( 2 \right)\lef( 0 \right)}}\otimes S{{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}} \right)}_{\lef( 1 \right)}}\otimes {{a}_{\lef( 2 \right)\lef( 1 \right)}}=S\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 0 \right)} \right)\otimes {{a}_{\lef( 0 \right)\lef( 2 \right)}}\otimes S\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)} \right)\otimes {{a}_{\lef( 1 \right)\lef( 2 \right)}}, $ (6)
$ {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 0 \right)}\otimes S{{\lef( {{a}_{\lef( 2 \right)}} \right)}_{\lef( 0 \right)}}\otimes {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\otimes S{{\lef( {{a}_{\lef( 2 \right)}} \right)}_{\lef( 1 \right)}}={{a}_{\lef( 0 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\otimes S\lef( {{a}_{\lef( 0 \right)}}_{\lef( 2 \right)} \right)\otimes {{a}_{\lef( 1 \right)\lef( 1 \right)}}\otimes S\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 2 \right)} \right)。 $ (7)

如果(A, δ)和(B, η)均为Long-Hopf拟群, 则(A∝B, γ)也是Long-Hopf拟群当且仅当对任意a, b∈A, x, y∈B,

(LHQ1)映射f:A∝B→A∝B, a∝x|→a(0)∝a(1)·x是余代数映射,

(LHQ2) δ(a(0), b)η(a(1)·x, y)=δ(a, b)η(x, y); δ(a, S(b)(0))η(x, S(b)(1)·S(y))=δ(a, S(b))η(x, S(y))。

映射γ:A∝B⊗A∝B→k定义为

$ \gamma \lef( a\propto xb\propto y \right)\text{=}\delta \lef( a, b \right)\eta \lef( x, y \right), $

A∝B的对极定义为

$ S\lef( a\propto x \right)=S{{\lef( a \right)}_{\lef( 0 \right)}}\propto S{{\lef( a \right)}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot S\lef( x \right)。 $

证明 先证:A∝B是一个Hopf拟群。显然, A∝B有单位元1A∝1B, 并且对任意a, b∈A, x, y∈B,

$ \Delta \lef( \lef( a\propto x \right)\lef( b\propto y \right) \right)=\Delta \lef( a{{b}_{\lef( 0 \right)}}\propto \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)y \right)={{a}_{\lef( 1 \right)}}{{b}_{\lef( 0 \right)\lef( 1 \right)}}\propto {{\lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)}_{\lef( 1 \right)}}{{y}_{\lef( 1 \right)}}\otimes \\ {{a}_{\lef( 2 \right)}}{{b}_{\lef( 0 \right)\lef( 2 \right)}}\propto {{\lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)}_{\lef( 2 \right)}}{{y}_{\lef( 2 \right)}}, $
$ \begin{matrix} \Delta \lef( a\propto x \right)\Delta \lef( b\propto y \right)=\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}\propto {{x}_{\lef( 1 \right)}} \right)\lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\propto {{y}_{\lef( 1 \right)}} \right)\otimes \lef( {{a}_{\lef( 2 \right)}}\propto {{x}_{\lef( 2 \right)}} \right)\lef( {{b}_{\lef( 2 \right)}}\propto {{y}_{\lef( 2 \right)}} \right)= \\ {{a}_{\lef( 1 \right)}}{{b}_{\lef( 1 \right)\lef( 0 \right)}}\propto \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\centerdot {{x}_{\lef( 1 \right)}} \right){{y}_{\lef( 1 \right)}}\otimes {{a}_{\lef( 2 \right)}}{{b}_{\lef( 2 \right)\lef( 0 \right)}}\propto \lef( {{b}_{\lef( 2 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\centerdot {{x}_{\lef( 2 \right)}} \right){{y}_{\lef( 2 \right)}}, \\ \end{matrix} $
$ \varepsilon \lef( \lef( a\propto x \right)\lef( b\propto y \right) \right)=\varepsilon \lef( a \right)\varepsilon \lef( {{b}_{\lef( 0 \right)}} \right)\varepsilon \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)\varepsilon \lef( y \right), $
$ \varepsilon \lef( a\propto x \right)\varepsilon \lef( b\propto y \right)=\varepsilon \lef( a \right)\varepsilon \lef( x \right)\varepsilon \lef( b \right)\varepsilon \lef( y \right)。 $

另外, 由条件(LHQ1)可以得到

$ {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 0 \right)}\propto {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\centerdot {{x}_{\lef( 1 \right)}}\otimes {{a}_{\lef( 2 \right)\lef( 0 \right)}}\propto {{a}_{\lef( 2 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\centerdot {{x}_{\lef( 2 \right)}}={{a}_{\lef( 0 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\otimes {{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)}_{\lef( 1 \right)}}\otimes {{a}_{\lef( 0 \right)\lef( 2 \right)}}\otimes\\ {{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)}_{\lef( 2 \right)}}, $ (8)
$ \varepsilon \lef( {{a}_{\lef( 0 \right)}} \right)\varepsilon \lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)=\varepsilon \lef( a \right)\varepsilon \lef( x \right)。 $ (9)

易证:Δ((a∝x)(b∝y))=Δ(a∝x)Δ(b∝y)当且仅当式(8)成立, 并且ε((a∝x)(b∝y))=ε(a∝x)ε(b∝y)成立当且仅当式(9)成立, 所以A∝B的余乘法与余单位是代数映射当且仅当(LHQ1)成立。

设(LHQ1)和(LHQ2)成立。下证:A∝B是Hopf拟群, 即证如下两个等式成立:

$ S\lef( {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 1 \right)}} \right)\lef( {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 2 \right)}}\lef( b\propto y \right) \right)=\varepsilon \lef( a\propto x \right)b\propto y=\\ {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 1 \right)}}\lef( S\lef( {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 2 \right)}} \right)\lef( b\propto y \right) \right), $
$ \lef( \lef( a\propto x \right)S\lef( {{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right){{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 2 \right)}}=\varepsilon \lef( b\propto y \right)a\propto x=\\ \lef( \lef( a\propto x \right){{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 1 \right)}} \right)S\lef( {{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 2 \right)}} \right)。 $

事实上, 有

$ \begin{matrix} S\lef( {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 1 \right)}} \right)\lef( {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 2 \right)}}\lef( b\propto y \right) \right)= \\ S{{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}} \right)}_{\lef( 0 \right)}}{{\lef( {{a}_{\lef( 2 \right)}}{{b}_{\lef( 0 \right)}} \right)}_{\lef( 0 \right)}}\propto \lef( {{\lef( {{a}_{\lef( 2 \right)}}{{b}_{\lef( 0 \right)}} \right)}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot \lef( S{{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}} \right)}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot S\lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right) \right)\lef( \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot {{x}_{\lef( 2 \right)}} \right)y \right)= \\ S{{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}} \right)}_{\lef( 0 \right)}}\lef( {{a}_{\lef( 2 \right)}}_{\lef( 0 \right)}{{b}_{\lef( 0 \right)}}_{\lef( 0 \right)} \right)\propto \lef( {{a}_{\lef( 2 \right)}}_{\lef( 1 \right)}{{b}_{\lef( 0 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\centerdot \lef( S{{\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}} \right)}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot S\lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right) \right)\lef( \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot {{x}_{\lef( 2 \right)}} \right)y \right)= \\ S\lef( {{a}_{\lef( 0 \right)}}_{\lef( 1 \right)} \right)\lef( {{a}_{\lef( 0 \right)}}_{\lef( 2 \right)}{{b}_{\lef( 0 \right)}} \right)\propto \lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 2 \right)}{{b}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)}\centerdot \lef( S\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)} \right)\centerdot S\lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right) \right)\lef( \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 2 \right)}\centerdot {{x}_{\lef( 2 \right)}} \right)y \right)= \\ \left. \varepsilon \lef( {{a}_{\lef( 0 \right)}} \right){{b}_{\lef( 0 \right)}}\propto \lef( S\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)} \right)\lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 2 \right)}{{b}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 1 \right)} \right)\centerdot S\lef( {{x}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right) \right)\lef( \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}_{\lef( 2 \right)}\centerdot {{x}_{\lef( 2 \right)}} \right)y \right)= \\ \varepsilon \lef( {{a}_{\lef( 0 \right)}} \right){{b}_{\lef( 0 \right)}}\propto \varepsilon \lef( {{a}_{\lef( 1 \right)}} \right)S\lef( {{\lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)}_{\lef( 1 \right)}} \right)\lef( {{\lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)}_{\lef( 2 \right)}}y \right)= \\ \varepsilon \lef( a \right){{b}_{\lef( 0 \right)}}\propto \varepsilon \lef( {{b}_{\lef( 1 \right)}}\centerdot x \right)y=\varepsilon \lef( a \right)\varepsilon \lef( x \right)b\propto y 。 \\ \end{matrix} $

注意:上述证明的第三个等式成立是由于等式(6)成立且A是右Hop-余模, 第四个等式成立是由于等式(5)成立以及左H-拟模Hopf拟群B的对极是H-线性的, 即S(h·x)=h·S(x)。并且类似可证:

$ {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 1 \right)}}\lef( S\lef( {{\lef( a\propto x \right)}_{\lef( 2 \right)}} \right)\lef( b\propto y \right) \right)=\varepsilon \lef( a \right)\varepsilon \lef( x \right)b\propto y, $
$ \lef( \lef( a\propto x \right)S\lef( {{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right){{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 2 \right)}}=\varepsilon \lef( b\propto y \right)a\propto x, $
$ \lef( \lef( a\propto x \right){{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 1 \right)}} \right)S\lef( {{\lef( b\propto y \right)}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\varepsilon \lef( b\propto y \right)a\propto x。 $

反之, 如果有关对极S的4个式子成立, 易证等式(LHQ2)成立。所以, 辫积A∝B是Hopf拟群当且仅当(LHQ1)和(LHQ2)成立。因此, 由定义8知:A∝B是一个Long-Hopf拟群。

设H是Hopf拟群, 且δ:H⊗H→k是线性映射。在H上定义左作用“·”:

$ H\otimes H\to H, g\centerdot h=\delta \lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}}, g \right){{h}_{\lef( 2 \right)}}。 $

于是, 有下面结论。

定理3 (H, ·, δ, Δ)是左H-Yetter-Drinfel’d拟模代数当且仅当(H, δ)是一个辫子Hopf拟群。

证明 由定义6和定义9可以直接证明:(H, ·, δ, Δ)是左H-Yetter-Drinfel’d拟模代数当且仅当(H, δ)是辫子Hopf拟群。

3 Long斜Hopf拟群的量子化

本节主要通过Harrison 2-余循环构造Long斜Hopf拟群。

定义10 设H是Hopf拟群, 若存在卷积可逆线性映射τ:H⊗H→k满足:对任意g, h, l∈H,

$ \tau \lef( h, {{g}_{\lef( 1 \right)}}{{l}_{\lef( 1 \right)}} \right)\tau \lef( {{g}_{\lef( 2 \right)}}, {{l}_{\lef( 2 \right)}} \right)=\tau \lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}, {{g}_{\lef( 2 \right)}} \right)\tau \lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}}{{g}_{\lef( 1 \right)}}, l \right), $

则称τ是H的(右)Harrison 2-余循环[4]。

设H是Hopf拟群, 则由文献[4]知:如果τ:H⊗H→k是Harrison 2-余循环, Hτ是Hopf拟群, 其中Hτ的乘法“·τ”与对极“Sτ”定义如下:

$ h{{\centerdot }_{\tau }}g={{\tau }^{-1}}\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}}, {{g}_{\lef( 1 \right)}} \right){{h}_{\lef( 2 \right)}}{{g}_{\lef( 2 \right)}}\tau \lef( {{h}_{\lef( 3 \right)}}, {{g}_{\lef( 3 \right)}} \right), $
$ {{S}^{\tau }}\lef( h \right)={{\tau }^{-1}}\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}}, S\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right)S\lef( {{h}_{\lef( 3 \right)}} \right)\tau \lef( S\lef( {{h}_{\lef( 4 \right)}} \right), {{h}_{\lef( 5 \right)}} \right)。 $

注4 (1)若τ是Harrison 2-余循环, 则由文献[4]中的命题2知:对任意g, h, l∈H,

$ \tau \lef( h, 1 \right)=\varepsilon \lef( h \right)\tau \lef( 1, 1 \right)=\tau \lef( 1, h \right), $
$ {{\tau }^{-1}}\lef( h, 1 \right)=\varepsilon \lef( h \right){{\tau }^{-1}}\lef( 1, 1 \right)={{\tau }^{-1}}\lef( 1, h \right), $
$ {{\tau }^{-1}}\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}}, S\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right)\tau \lef( S\lef( {{h}_{\lef( 3 \right)}} \right), {{h}_{\lef( 4 \right)}} \right)=\varepsilon \lef( h \right), $
$ {{\tau }^{-1}}\lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}}, {{g}_{\lef( 1 \right)}} \right){{\tau }^{-1}}\lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}{{g}_{\lef( 2 \right)}}, l \right)={{\tau }^{-1}}\lef( {{g}_{\lef( 1 \right)}}, {{l}_{\lef( 1 \right)}} \right){{\tau }^{-1}}\lef( h, {{g}_{\lef( 2 \right)}}{{l}_{\lef( 2 \right)}} \right)。 $

(2)设(H, δ)是Long斜Hopf拟群, δ:H⊗H→k可逆(其逆记为δ-1), 则由等式(L1)和δ卷积可逆,可证δ是Harrison 2-余循环当且仅当下式成立:对任意g, h, l∈H,

$ \delta \lef( h, gl \right)=\delta \lef( {{h}_{\lef( 2 \right)}}, g \right)\delta \lef( {{h}_{\lef( 1 \right)}}, l \right)。 $ (10)

(3)由定义8(3)知: Long斜Hopf拟群(H, δ)中映射δ是Harrison 2-余循环。

定理4 设(H, δ)是强Long斜Hopf拟群, 若映射δ满足下列条件:对任意g, h∈H,

$ \delta \lef( h, S\lef( {{g}_{\lef( 1 \right)}} \right) \right){{g}_{\lef( 2 \right)}}=\delta \lef( h, S\lef( {{g}_{\lef( 2 \right)}} \right) \right){{g}_{\lef( 1 \right)}}, $ (11)

则(Hδ, δ)是Long斜Hopf拟群, 因此, (Hδ, δ, $\leftharpoonup$, Δ)是右H-拟重模代数。

另外, 如果Long余Hopf拟群(H, δ)中的对极S是双射, 则(Hδ, δ)也是强Long斜Hopf拟群。