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S-系的覆盖研究

中国学术期刊网【数学论文】 编辑:天问 山东大学学报(理学版) 2016-11-04S-系的覆盖研究论文作者:李焕云 乔虎生,原文发表在《山东大学学报(理学版)杂志》,经中国学术期刊网小编精心整理,仅供您参考。

关键词: 余积 有向上极限 WWPPFF-覆盖 FFGGWWII-覆盖 SSTTFF-覆盖
摘要: 设S是幺半群, FF\mathscr{G}WW\mathscr{I},,\mathscr{W}PP\mathscr{F},,\mathscr{S}TTFF分别表示有限生成弱内射右S-系、弱拉回平坦右S-系和强挠自由右S-系的类。证明了在有左零元的左reversible幺半群上, 每一个右S-系Ai∈FF\mathscr{G}WW\mathscr{I}$当且仅当 ˙∪i∈IAi∪ ˙ i∈I A i ∈FF\mathscr{G}WW\mathscr{I}$; 在Noetherian幺半群上, 任意fg-弱内射S-系的有向上极限是fg-弱内射的; 同时考虑了WW\mathscr{P}FF-覆盖和SS\mathscr{T}$FF-覆盖, 给出了每一个右S-系都有FF\mathscr{G}WW\mathscr{I}$-覆盖的条件。证明了若S是有有限几何型的有限生成幺半群, 每一个右S-系都有WW\mathscr{P}FF-覆盖, 以及在任意幺半群S上, 每一个右S-系都有SS\mathscr{T}$FF-覆盖。

0 引言

设S是幺半群, 一个非空集合A被称作是右S-系, 记作AS。如果存在一个映射f:A×S→A, (a, s)|→as, 使得对任意的a∈A, s, t∈S, 满足(as)t=a(st), a1=a。设A, B是右S-系, 称f:AS→BS是右S-系同态, 如果对任意的a∈A, s∈S, 满足f(as)=f(a)s。以下除特殊声明以外, S-系均指右S-系。同样的方法, 可以定义左S-系以及左S-系同态。

设S是幺半群, A是右S-系, X是在同构意义下封闭的S-系的类。A的X-预覆盖是指S-系同态g:P→A(P∈X), 使得对每一个S-系同态g′:P′→A(P′∈X), 存在S-系同态f:P′→P, 有g′=gf。此外若A的X-预覆盖满足:使得g=gf成立的每一个S-系同态f:P→P是同构的, 则称其为A的X-覆盖。设X是S-系的类, 2013年, A.Bailey和J.Renshaw[1]给出了每一个右S-系有X-预覆盖的充要条件,以及每一个右S-系有X-覆盖的充分条件。近年来,X-预覆盖和X-覆盖的研究被许多学者关注,相关的主要文献见[1-2]等。

我们知道, 平坦性和内射性是S-系范畴中研究的重要概念。由文献[3], 强平坦S-系(拉回平坦S-系)可以被条件(P)和条件(E)等价刻画。

称右S-系AS满足条件(P), 如果对任意的a, a′∈A, s, s′∈S, 若as=a′s′, 则存在a″∈A, u, v∈S, 使得a=a″u, a′=a″v, us=vs′。

称右S-系AS满足条件(E), 如果对任意的a∈A, s, s′∈S, 若as=as′, 则存在a″∈A, u∈S, 使得a=a″u, us=us′。

由文献[4], 弱拉回平坦S-系可以被条件(PF′)(既满足条件(P)又满足条件(E′))等价刻画。

称右S-系AS满足条件(E′), 如果对任意的a∈A, s, s′, z∈S, 若as=as′, sz=s′z, 则存在a″∈A, u∈S, 使得a=a″u, us=us′。

称右S-系AS满足条件(PF′), 如果对任意的a, a′∈A, s, s′, t, t′, z, w∈S, 若as=a′s′, at=a′t′, sz=tw, s′z=t′w, 则存在a″∈A, u, v∈S, 使得a=a″u, a′=a″v, us=vs′, ut=vt′。

由文献[5], 称右S-系AS是内射的, 如果对任意S-系单同态l:B→C, 以及对每一个S-系同态f:B→A, 都存在S-系同态g:C→A, 有gl=f。称右S-系AS是fg-弱内射的, 若它关于所有的有限生成右理想到SS的嵌入映射是内射的。

称右S-系AS是强挠自由的, 如果对任意a, b∈A, c∈S, 若ac=bc, 则a=b。

为下文叙述方便, 给出S-系的类的符号表示:

符号 含义
WPF 弱拉回平坦S-系的类
STF 强挠自由S-系的类
I 内射S-系的类
F GWI fg-弱内射S-系的类

显然WPF⊆STF, I⊆F GWI。

文献[2]给出了内射的S-系关于余直积封闭的等价刻画, 以及每一个S-系都有I-覆盖的条件。本文证明了fg-弱内射的S-系关于余直积封闭等价于S是有左零元的左reversible Noetherian幺半群, 给出了每一个S-系都有F\mathscr{G}W\mathscr{I}$-覆盖的条件。文献[1]证明了在有有限几何型的有限生成幺半群上, 每一个S-系都有S\mathscr{F}−覆盖和\mathscr{C}P-覆盖。本文证明了在有有限几何型的有限生成幺半群上, 每一个S-系都有W\mathscr{P}F-覆盖。另外文献[2]证明了在右可消幺半群上, 每一个S-系都有TF-覆盖。受此启发, 本文证明了在任意幺半群上, 每一个右S-系都有S\mathscr{T}$F-覆盖。˙∪i∈IAi表示S-系Ai的不交并。关于没有说明的概念和记号见文献[6]。

1 主要结果

命题1[1] 设S是幺半群,A是右S-系,X是S-系的类,使得

(1) ˙∪i∈IXi∈X⇔Xi∈X, 每个i∈I;

(2)对每一个S-系A, 都存在X∈X, 使得HomS(X, A)≠ ∅;

(3)存在一个基数λ, 使得对X中的每一个不可分S-系X, 有|X| < λ。则每一个S-系有X-预覆盖。

注记1 因为任意的S-系A都是自由系的同态像, 因此存在X∈WPF, 使得HomS(X, A)≠∅。同理存在∈STF, 使得HomS(X, A)≠∅。

定义1[1] 设I是偏序集, 称(Xi, φi, j)是S-系的正向系, 若对S-系集(X)i∈I和S-系同态φi, j:Xi→Xj, 其中i≤j∈I, 使得

(1) φi, i=1Xi, 对所有的i∈I;

(2) φj, kφi, j=φi, k, 其中i≤j≤k。

称(X, αi)是正向系(Xi, φi, j)的上极限。若满足下列条件:

(1) αjφi, j=αi, 其中i≤j;

(2)若Y是S-系, βi:Xi→Y是S-系同态, 使得βjφi, j=βi, 其中i≤j, 则存在唯一的S-系同态ψ:X→Y, 使得ψαi=βi。

若I满足性质:对任意的i, j∈I, 存在k∈I, 使得k≥i, j, 称I是有向的。此时称上极限为有向上极限。

命题2[1] 设S是幺半群, (Xi, φi, j)是关于有向集I的正向系。X是S-系且αi:Xi→X是S-系同态, 使得对任意的i, j∈I, 则有αjφi, j=αi。那么(X, αi)是正向系(Xi, φi, j)的有向上极限当且仅当

(1)对所有的x∈X, 存在i∈I, xi∈Xi, 使得x=αi(xi);

(2)对所有的i, j∈I, αi(xi)=αj(xj)当且仅当φi, k(xi)=φj, k(xj), 其中k≥i, j。

定理1[2] 设S是幺半群, A是S-系。X是在有向上极限下封闭的S-系的类。若A有X-预覆盖, 则A有X-覆盖。

命题3 设S是幺半群, X是满足条件(P)的右S-系。若有互不相同的xi∈X, 其中1≤i≤n, 使得x1s=x2s=…=xns。则有互不相同的ui∈S, 其中1≤i≤n, 使得u1s=u2s=…=uns。

证明 用数学归纳法来证明。

当k=2时, 即x1s=x2s。由于X满足条件(P), 则存在x∈X, 互不相同的u1, u2∈S, 使得x1=xu1, x2=xu2, u1s=u2s。

假设k=n-1时, 结论成立。即若有互不相同的xi∈X, 其中1≤i≤n-1, x1s=x2s=…=xn-1s, 则存在x∈X, 互不相同的ui∈S, 其中1≤i≤n-1, 使得xi=xui, 且有u1s=u2s=…=un-1s。

当k=n时, 若有互不相同的xi∈X, 其中1≤i≤n, 使得x1s=x2s=…=xns成立。由上述的归纳假设, 则有互不相同的ui, 使得xi=xui(1≤i≤n-1)且有u1s=u2s=…=un-1s。由xn-1s=xns且X满足条件(P), 则存在y∈X, 互不相同的v1, v2∈S, 使得xn-1=yv1, xn=yv2, v1s=v2s。再由xn-1=xun-1=yv1且X满足条件(P), 则存在z∈X, 互不相同的w1, w2∈S, 使得x=zw1, y=zw2, w1un-1=w2v1。

综上可得xi=xui=zw1ui, xn=yv2=zw2v2, 其中1≤i≤n-1。由u1s=u2s=…=un-1s, w1un-1=w2v1, v1s=v2s, 可得w1u1s=w1u2s=…=w1un-1s且w1un-1s=w2v1s=w2v2s, 即有w1u1s=w1u2s=…=w1un-1s=w2v2s。

下证w1u1, w1u2, …, w1un-1, w2v2是互不相同的。

反设w1ui=w1uj, 其中1≤i, j≤n-1, 且i≠j, 则有xi=xj。与条件矛盾。反设w1ui=w2v2, 其中1≤i≤n-1, 则有xi=xn。与条件矛盾。即结论成立。

命题4[7] Ai∈W\mathscr{P}F⇔˙∪Ai∈W\mathscr{P}F, 对每个i∈I。

命题5 WPF是在有向上极限下封闭的S-系的类。

证明 设(Xi, φi, j)是关于有向集I的满足条件(PF′)的S-系的正向系, (X, αi)为其有向上极限。下证X满足条件(PF′)。

如果对任意的x, y∈X, s, s′, t, t′, z, w∈S, 若xs=ys′, xt=yt′, sz=tw, s′z=t′w, 则存在xi∈Xi, xj∈Xj, 使得x=αi(xi), y=αj(xj)。那么αi(xi)s=αj(xj)s′, αi(xi)t=αj(xj)t′。由命题2, 存在k′≥k≥j, i, φi, k(xi)s=φj, k(xj)s′, φi, k′(xi)t=φj, k′(xj)t′, sz=tw, s′z=t′w。因此φk, k′φi, k(xi)s=φk, k′φj, k(xj)s′, φi, k′(xi)t=φj, k′(xj)t′, sz=tw, s′z=t′w。即φi, k′(xi)s=φj, k′(xj)s′, φi, k′(xi)t=φj, k′(xj)t′, sz=tw, s′z=t′w, 其中φi, k′(xi), φj, k′(xj)∈Xk′。由于Xk′满足条件(PF′), 则存在ak′∈Xk′, u, v∈S, 有φi, k′(xi)=ak′u, φj, k′(xj)=ak′v, us=vs′, ut=vt′。则αk′φi, k′(xi)=αk′(ak′)u, αk′φj, k′(xj)=αk′(ak′)v, us=vs′, ut=vt′。即有x=αi(xi)=αk′φi, k′(xi)=αk′(ak′)u, y=αj(xj)=αk′φj, k′(xj)=αk′(ak′)v, us=vs′, ut=vt′。可得X满足条件(PF′)。即WPF是在有向上极限下封闭的S-系的类。

文献[8]中, 称S是有有限几何型的有限生成幺半群, 若S是有限生成的幺半群且满足对任意s∈S, 存在k∈N, 使得对任意y∈S, 有|{x∈S|xs=y}|≤k。

定理2 设S是有有限几何型的有限生成幺半群, 则每一个S-系都有WPF-覆盖。

证明 设X是满足条件(PF′)的不可分S-系。则对任意的x, y∈X, 存在x1, x2, …xn∈X, s1, s2, …sn, t1, t2, …tn∈S, 有等式x=x1s1, x1t1=x2s2, …, xntn=y。下证对s1∈S, 最多有k个互不相同的xi∈X, 使得x=xis1, 其中1≤i≤k。

反设有k+1个互不相同的xi∈X, 使得x=x1s1=x2s1=…=xk+1s1。X是满足条件(PF′), 因此X是满足条件(P), 由命题3, 可得有k+1个互不相同的ui∈S, 使得u1s1=u2s1=…=uk+1s1。与定理假设矛盾。因此对s1∈S, 最多有k个不同的x1∈X, 使得x=x1s1。取定x1, 则对t1∈S, x1t1最多有|S|个不同的值。与上述方法类似地, 可得这样长度为n的路径的界为ℵ0|S|2n。因此|X|≤ℵ0。由命题1, 定理1, 命题4, 命题5, 则每一个S-系都有WPF-覆盖。

称S是右可消幺半群, 如果对任意的s, s′, z∈S, 若sz=s′z, 则s=s′。

推论1 若S是右可消幺半群, 则每一个右S-系都有WPF-覆盖。

证明 当S是右可消幺半群, 在上述定理证明中取k=1即可, 则每一个S-系都有WPF-覆盖。

文献[9]中, 称幺半群S满足条件(A), 如果所有右S-系对循环子系满足升链条件, 也就是说每个局部循环右S-系是循环的。

命题6[9] 满足条件(P)的右S-系X是不可分的当且仅当X是局部循环的。

定理3 若S是满足条件(A)的幺半群, 则每一个右S-系都有WPF-覆盖。

证明 X∈WPF是不可分右S-系, 由命题6, X是局部循环的。因为S是满足条件(A)的幺半群, 所有局部循环系是循环的。若S/ρ是循环的, 显然|S/ρ|≤|S|。由命题1, 定理1, 命题4, 命题5, 则每一个S-系都有WPF-覆盖。

文献[10]中, 称幺半群S是左reversible的, 如果S的任意两个主右理想相交非空, 即对任意的r, s∈S, rS∩sS≠∅。换言之, 对任意的r, s∈S, 存在u, v∈S, 使得ru=sv。称幺半群S是右collapsible的, 如果对任意的r, s∈S, 存在u∈S, 使得ru=su。显然若幺半群S是右collapsible的, 则幺半群S是左reversible的。

命题7[5] 设S是幺半群,A是S-系,则以下条件等价:

(1)若Ai, i∈I是fg-弱内射的右S-系, 则˙∪i∈IAi是fg-弱内射的右S-系;

(2) ΘSΘS是fg-弱内射的右S-系;

(3) S是左reversible的。

设S是幺半群, A, B是右S-系, f:A→B是右S-系同态。称B是A的收缩核, 如果存在右S-系同态g:B→A, 使得fg=idB。

命题8[5] 设S是幺半群, 若A是fg-弱内射的右S-系, 则A的任意收缩核也是fg-弱内射的右S-系。

引理1 设S是幺半群, 如果每个右S-系都有F GWI-预覆盖, 则S是左reversible的。

证明 设Ai(i∈I)是fg-弱内射的右S-系, B=˙∪i∈IAi是Ai的余直积。设g:C→B是B的F\mathscr{G}W\mathscr{I}$-预覆盖, 对每个j∈I以及包含同态hj:Aj→B, 都存在S-系同态fj:Aj→C, 使得gfj=hj。定义S-系同态f:B→C, 有f|Aj=fj。任取x∈B=˙∪i∈IAi, 则存在i∈I, 有x∈Ai, 可得x=hi(x)=gfi(x)=gf(x), 即有gf=idB。因此B是C的收缩核。由命题8, B是fg-弱内射右S-系, 由命题7, S是左reversible的。

注记2 若S是有左零元z的幺半群, 则任意S-系A有不动点。因为对任意的a∈A, s∈S, 都有(az)s=a(zs)=az, 即az是A的不动点。

引理2 设S是有左零元的左reversible幺半群。则Ai是fg-弱内射的右S-系⇔˙∪i∈IAi是fg-弱内射的右S-系。

证明 必要性。由于S是左reversible幺半群, 由命题7, 若每个Ai(i∈I)是fg-弱内射的右S-系, 则˙∪i∈IAi是fg-弱内射的右S-系。

充分性。假设A=˙∪i∈IAi是fg-弱内射的右S-系, S是有左零元的幺半群, 则每个右S-系Ai都有不动点zi∈Ai。给定j∈I, 任意单同态l:KS→S和任意同态f:KS→Aj, 其中K为S的有限生成右理想。显然f∈Hom(K, A), 因此存在f:S→A, 使得f|K=f。取Kj={x∈S|f(x)∈Aj}。对任意的y∈K, f(y)=f(y)∈Aj, 因此K⊆Kj且对所有的s∈S, y∈Kj⇔ys∈Kj。定义映射h:S→Aj, 当y∈Kj时, h(y)=f(y);否则, h(y)=zj。因为zj是不动点, 可得h是符合定义的S-系同态且有h|K=f。因此Aj是fg-弱内射的右S-系。

设S是幺半群, A是右S-系。称A是Noetherian的, 如果A上的每个同余是有限生成的。称幺半群S是Noetherian的, 如果S作为S-系本身是Noetherian的。

命题9[2] 设S是幺半群,A是S-系。则有

(1)若S是Noetherian的, A是有限生成的, 则A是Noetherian的;

(2)若A是Noetherian的, 则A是有限生成的;

(3)若A是Noetherian的, 则A的任意子系和任意同态像是Noetherian的。

命题10 设S是Noetherian幺半群, 则F GWI是在有向上极限下封闭的S-系的类。

证明 S是Noetherian幺半群, (Ai, φi, j)是在有向集I下的有限生成弱内射系的正向系, (A, αi)为其有向上极限。设l:L→S为包含同态, 其中L为S的有限生成右理想。对于任意S-系同态f:L→A, 由于S是Noetherian幺半群, 由命题9, S的子系L是Noetherian的。由命题9, f(L)是Noetherian的并且是有限生成的, 记f(L)=〈a1, a2, …, an〉是A的有限生成子系。由于每个ai都是有向上极限A中的元素, 则存在m(1), m(2), …, m(n)∈I, 使得αm(i)(a′i)=ai, 其中φa′i∈Am(i), 1≤i≤n。由于I是有向的, 由命题2, 则存在k≥m(1), m(2), …, m(n), 使得bi=φm(i), k(a′i)∈Ak, 令B=〈b1, b2, …, bn〉是Ak的有限生成子系, 由命题9,B是Noetherian的。由Noetherian S-系定义, B上的每个同余都是有限生成的。特别地, 取ker(αk|B)=Z#={(a, b)|αk(a)=αk(b)且a, b∈B}是有限生成的, 其中Z⊆B×B是有限集。下证ker(αk|B)⊆ker(φk, w)。

对任意的(x, y)∈ker(αk|B), 则存在(p1, q1), (p2, q2), …, (pm, qm)∈Z, s1, s2, …, sm∈S, 使得x=p1s1, q1s1=p2s2, …, qmsm=y, 且对所有的1≤j≤m, 都有αk(pj)=αk(qj)。由命题2, 存在lj≥k, 使得φk, lj(pj)=φk, lj(qj), 由于I是有向的, 则存在w≥l1, l2, …, lm, 使得对所有的1≤j≤m, 都有φk, w(pj)=φk, w(qj)。因此可得φk, w(x)=φk, w(p1)s1=φk, w(q1)s1=φk, w(p2)s2=…=φk, w(qm)sm=φk, w(y)。即ker(αk|B)⊆ker(φk, w)。

令D=φk, w(B)是Aw的有限生成子系。对任意的x, y∈D, 存在a, b∈B, 使得x=φk, w(a), y=φk, w(b)。令αw(x)=αw(y), 有αwφk, w(a)=αwφk, w(b), 即有αk(a)=αk(b), 则有(a, b)∈ker(αk|B)。前面已证得ker|(αk|B)⊆ker(φk, w),则(a, b)∈kerφk, w, 有φk, w(a)=φk, w(b)。即有x=y。因此αw|D是单同态。下证im(f)=im(αw|D)。

对任意的1≤i≤n, αw(φk, w)(bis)=αk(bis)=αk(φm(i), k(a′is))=αmi(a′is)=ais∈im(f)。反过来, 对任意的ais∈im(f), 有ais=αmi(a′i)s=αw(φm(i), w(a′i))s=αw(φk, w(φm(i), k(a′i)))s=αw(φk, w(bi))s∈im(αw|D)。因此im(f)=im(αw|D)≅D。由于Aw是fg-弱内射的, 则αw-1f:L→Aw可以扩张到S上且有S-系同态g:S→Aw。因此f也可以扩张到S上且有S-系同态αwg:S→A, 使得αwgl=f。因此A是fg-弱内射的。

定理4 设S是有左零元的左reversible Noetherian幺半群, 若存在一个基数λ, 使得对每一个不可分的fg-弱内射S-系X有|X|≤λ, 则每一个S-系都有F GWI-覆盖。

证明 S是有左零元的左reversible幺半群, 由引理2, fg-弱内射S-系对余直积封闭。因为对任意S-系A, 都存在一元S-系ΘS∈F GWI, 使得Hom(ΘS, A)≠∅。由命题1, 每一个S-系都有F GWI -预覆盖。由定理1, 命题10, 每一个S-系都有F GWI -覆盖。